微积分学示例

$\int 5 x (x - 4) (3 x + 5) d x$

解题步骤 1

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int (x (x - 4)) (3 x + 5) d x$

解题步骤 2

使 $u = 3 x + 5$ 。然后使 $d u = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 3 x + 5$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $3 x + 5$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x + 5]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $3 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1.4.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 + 0$

解题步骤 2.1.4.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$3$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$5 \int (\frac{u}{3} - \frac{5}{3}) (\frac{u}{3} - \frac{5}{3} - 4) u \frac{1}{3} d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

要将 $- 4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$5 \int (\frac{u}{3} - \frac{5}{3}) (\frac{u}{3} - \frac{5}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}) u \frac{1}{3} d u$

解题步骤 3.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$5 \int (\frac{u}{3} - \frac{5}{3}) (\frac{u}{3} - \frac{5}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}) u \frac{1}{3} d u$

解题步骤 3.3

在公分母上合并分子。

$5 \int (\frac{u}{3} - \frac{5}{3}) (\frac{u}{3} + \frac{- 5 - 4 \cdot 3}{3}) u \frac{1}{3} d u$

解题步骤 3.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$5 \int (\frac{u}{3} - \frac{5}{3}) (\frac{u}{3} + \frac{- 5 - 12}{3}) u \frac{1}{3} d u$

解题步骤 3.4.2

从 $- 5$ 中减去 $12$ 。

$5 \int (\frac{u}{3} - \frac{5}{3}) (\frac{u}{3} + \frac{- 17}{3}) u \frac{1}{3} d u$

解题步骤 3.5

将负号移到分数的前面。

$5 \int (\frac{u}{3} - \frac{5}{3}) (\frac{u}{3} - \frac{17}{3}) u \frac{1}{3} d u$

解题步骤 3.6

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u$ 。

$5 \int (\frac{u}{3} - \frac{5}{3}) (\frac{u}{3} - \frac{17}{3}) \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$5 \int (\frac{u}{3} (\frac{u}{3} - \frac{17}{3}) - \frac{5}{3} (\frac{u}{3} - \frac{17}{3})) \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$5 \int (\frac{u}{3} \cdot \frac{u}{3} + \frac{u}{3} (- \frac{17}{3}) - \frac{5}{3} (\frac{u}{3} - \frac{17}{3})) \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$5 \int (\frac{u}{3} \cdot \frac{u}{3} + \frac{u}{3} (- \frac{17}{3}) - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} - \frac{5}{3} (- \frac{17}{3})) \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.4

运用分配律。

$5 \int (\frac{u}{3} \cdot \frac{u}{3} + \frac{u}{3} (- \frac{17}{3})) \frac{u}{3} + (- \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} - \frac{5}{3} (- \frac{17}{3})) \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.5

运用分配律。

$5 \int \frac{u}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} + \frac{u}{3} (- \frac{17}{3}) \frac{u}{3} + (- \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} - \frac{5}{3} (- \frac{17}{3})) \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.6

运用分配律。

$5 \int \frac{u}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} + \frac{u}{3} (- \frac{17}{3}) \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} (- \frac{17}{3}) \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.7

将 $\frac{u}{3}$ 和 $- 1$ 重新排序。

$5 \int \frac{u}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} (- \frac{17}{3}) \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.8

移动 $\frac{5}{3}$ 。

$5 \int \frac{u}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.9

将 $\frac{u}{3}$ 乘以 $\frac{u}{3}$ 。

$5 \int \frac{u \cdot u}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} - 1 \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.10

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \int \frac{u^{1} u}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} - 1 \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.11

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \int \frac{u^{1} u^{1}}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} - 1 \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 \int \frac{u^{1 + 1}}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} - 1 \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.13

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$5 \int \frac{u^{2}}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} - 1 \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.14

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$5 \int \frac{u^{2}}{9} \cdot \frac{u}{3} - 1 \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.15

将 $\frac{u^{2}}{9}$ 乘以 $\frac{u}{3}$ 。

$5 \int \frac{u^{2} u}{9 \cdot 3} - 1 \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.16

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \int \frac{u^{2} u^{1}}{9 \cdot 3} - 1 \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 \int \frac{u^{2 + 1}}{9 \cdot 3} - 1 \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.18

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$5 \int \frac{u^{3}}{9 \cdot 3} - 1 \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.19

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$5 \int \frac{u^{3}}{27} - 1 \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.20

组合 $- 1 \frac{u}{3}$ 和 $\frac{17}{3}$ 。

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u}{3} \cdot 17}{3} \cdot \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.21

组合 $\frac{u}{3}$ 和 $17$ 。

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17}{3}}{3} \cdot \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.22

将 $\frac{- 1 \frac{u \cdot 17}{3}}{3}$ 乘以 $\frac{u}{3}$ 。

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17}{3} u}{3 \cdot 3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.23

组合 $\frac{u \cdot 17}{3}$ 和 $u$ 。

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{3 \cdot 3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.24

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.25

组合 $- \frac{5}{3}$ 和 $\frac{u}{3}$ 。

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.26

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u}{9} \cdot \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.27

组合 $- \frac{5 u}{9}$ 和 $\frac{u}{3}$ 。

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u \cdot u}{9 \cdot 3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.28

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 (u^{1} u)}{9 \cdot 3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.29

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 (u^{1} u^{1})}{9 \cdot 3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.30

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u^{1 + 1}}{9 \cdot 3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.31

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{9 \cdot 3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.32

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.33

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + 1 (\frac{5}{3}) \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.34

将 $\frac{5}{3}$ 乘以 $1$ 。

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{5}{3} \cdot \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.35

将 $\frac{5}{3}$ 乘以 $\frac{17}{3}$ 。

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{5 \cdot 17}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.36

将 $5$ 乘以 $17$ 。

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.37

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85}{9} \cdot \frac{u}{3} d u$

解题步骤 4.38

将 $\frac{85}{9}$ 乘以 $\frac{u}{3}$ 。

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85 u}{9 \cdot 3} d u$

解题步骤 4.39

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85 u}{27} d u$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $17$ 移到 $u$ 的左侧。

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{17 \cdot u \cdot u}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85 u}{27} d u$

解题步骤 5.2

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{17 (u^{1} u)}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85 u}{27} d u$

解题步骤 5.3

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{17 (u^{1} u^{1})}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85 u}{27} d u$

解题步骤 5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{17 u^{1 + 1}}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85 u}{27} d u$

解题步骤 5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{17 u^{2}}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85 u}{27} d u$

解题步骤 5.6

将 $- 1 \frac{17 u^{2}}{3}$ 重写为 $- \frac{17 u^{2}}{3}$ 。

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- \frac{17 u^{2}}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85 u}{27} d u$

解题步骤 5.7

将 $\frac{- \frac{17 u^{2}}{3}}{9}$ 重写为乘积形式。

$5 \int \frac{u^{3}}{27} - \frac{17 u^{2}}{3} \cdot \frac{1}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85 u}{27} d u$

解题步骤 5.8

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $\frac{17 u^{2}}{3}$ 。

$5 \int \frac{u^{3}}{27} - \frac{17 u^{2}}{9 \cdot 3} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85 u}{27} d u$

解题步骤 5.9

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$5 \int \frac{u^{3}}{27} - \frac{17 u^{2}}{27} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85 u}{27} d u$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$5 (\int \frac{u^{3}}{27} d u + \int - \frac{17 u^{2}}{27} d u + \int - \frac{5 u^{2}}{27} d u + \int \frac{85 u}{27} d u)$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{27}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{27}$ 移到积分外。

$5 (\frac{1}{27} \int u^{3} d u + \int - \frac{17 u^{2}}{27} d u + \int - \frac{5 u^{2}}{27} d u + \int \frac{85 u}{27} d u)$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$5 (\frac{1}{27} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int - \frac{17 u^{2}}{27} d u + \int - \frac{5 u^{2}}{27} d u + \int \frac{85 u}{27} d u)$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $u^{4}$ 。

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \int - \frac{17 u^{2}}{27} d u + \int - \frac{5 u^{2}}{27} d u + \int \frac{85 u}{27} d u)$

解题步骤 10

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \int \frac{17 u^{2}}{27} d u + \int - \frac{5 u^{2}}{27} d u + \int \frac{85 u}{27} d u)$

解题步骤 11

由于 $\frac{17}{27}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{17}{27}$ 移到积分外。

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) - (\frac{17}{27} \int u^{2} d u) + \int - \frac{5 u^{2}}{27} d u + \int \frac{85 u}{27} d u)$

解题步骤 12

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{17}{27} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int - \frac{5 u^{2}}{27} d u + \int \frac{85 u}{27} d u)$

解题步骤 13

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u^{3}$ 。

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{17}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) + \int - \frac{5 u^{2}}{27} d u + \int \frac{85 u}{27} d u)$

解题步骤 14

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{17}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) - \int \frac{5 u^{2}}{27} d u + \int \frac{85 u}{27} d u)$

解题步骤 15

由于 $\frac{5}{27}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{5}{27}$ 移到积分外。

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{17}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) - (\frac{5}{27} \int u^{2} d u) + \int \frac{85 u}{27} d u)$

解题步骤 16

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{17}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) - \frac{5}{27} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int \frac{85 u}{27} d u)$

解题步骤 17

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u^{3}$ 。

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{17}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) - \frac{5}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) + \int \frac{85 u}{27} d u)$

解题步骤 18

由于 $\frac{85}{27}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{85}{27}$ 移到积分外。

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{17}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) - \frac{5}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{85}{27} \int u d u)$

解题步骤 19

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{17}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) - \frac{5}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{85}{27} (\frac{1}{2} u^{2} + C))$

解题步骤 20

化简。

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解题步骤 20.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u^{2}$ 。

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{17}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) - \frac{5}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{85}{27} (\frac{u^{2}}{2} + C))$

解题步骤 20.2

化简。

$5 (\frac{u^{4}}{108} - \frac{17 u^{3}}{81} - \frac{5 u^{3}}{81} + \frac{85 u^{2}}{54}) + C$

解题步骤 20.3

化简。

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解题步骤 20.3.1

在公分母上合并分子。

$5 (\frac{u^{4}}{108} + \frac{- 17 u^{3} - 5 u^{3}}{81} + \frac{85 u^{2}}{54}) + C$

解题步骤 20.3.2

从 $- 17 u^{3}$ 中减去 $5 u^{3}$ 。

$5 (\frac{u^{4}}{108} + \frac{- 22 u^{3}}{81} + \frac{85 u^{2}}{54}) + C$

解题步骤 20.3.3

将负号移到分数的前面。

$5 (\frac{u^{4}}{108} - \frac{22 u^{3}}{81} + \frac{85 u^{2}}{54}) + C$

解题步骤 21

使用 $3 x + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 (\frac{{(3 x + 5)}^{4}}{108} - \frac{22 {(3 x + 5)}^{3}}{81} + \frac{85 {(3 x + 5)}^{2}}{54}) + C$

解题步骤 22

重新排序项。

$5 (\frac{1}{108} {(3 x + 5)}^{4} - \frac{22}{81} {(3 x + 5)}^{3} + \frac{85}{54} {(3 x + 5)}^{2}) + C$

微积分学 示例

微积分学示例