微积分学示例

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x + 1}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

要将 $\frac{4}{x^{2} - 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2}{x + 1}$

解题步骤 1.2

要将 $\frac{2}{x + 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x^{2} - 1) (x + 1)$ 的形式。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{4}{x^{2} - 1}$ 乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (x + 1)}{(x^{2} - 1) (x + 1)} + \frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{2}{x + 1}$ 乘以 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (x + 1)}{(x^{2} - 1) (x + 1)} + \frac{2 (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 1.3.3

重新排序 $(x^{2} - 1) (x + 1)$ 的因式。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - 1)} + \frac{2 (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 1.4

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (x + 1) + 2 (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 (x + 1) + 2 (x^{2} - 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 (x + 1) + lim_{x \to - 1} 2 (x^{2} - 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.2

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + 1 + lim_{x \to - 1} 2 (x^{2} - 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.3

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{4 (lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1) + lim_{x \to - 1} 2 (x^{2} - 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{4 (lim_{x \to - 1} x + 1) + lim_{x \to - 1} 2 (x^{2} - 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 (lim_{x \to - 1} x + 1) + 2 lim_{x \to - 1} x^{2} - 1}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.6

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{4 (lim_{x \to - 1} x + 1) + 2 (lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.7

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{4 (lim_{x \to - 1} x + 1) + 2 ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.8

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{4 (lim_{x \to - 1} x + 1) + 2 ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.9

将 $- 1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.9.1

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4 (- 1 + 1) + 2 ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.9.2

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4 (- 1 + 1) + 2 ({(- 1)}^{2} - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.10

化简答案。

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解题步骤 2.1.2.10.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.10.1.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4 \cdot 0 + 2 ({(- 1)}^{2} - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.10.1.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 2 ({(- 1)}^{2} - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.10.1.3

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.10.1.3.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0 + 2 (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.10.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0 + 2 (1 - 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.10.1.4

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.10.1.5

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.10.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + 1 \cdot lim_{x \to - 1} x^{2} - 1}$

解题步骤 2.1.3.2

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1) \cdot lim_{x \to - 1} x^{2} - 1}$

解题步骤 2.1.3.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot lim_{x \to - 1} x^{2} - 1}$

解题步骤 2.1.3.4

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot (lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 1)}$

解题步骤 2.1.3.5

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 1)}$

解题步骤 2.1.3.6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 2.1.3.7

将 $- 1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.3.7.1

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{(- 1 + 1) \cdot ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 2.1.3.7.2

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{(- 1 + 1) \cdot ({(- 1)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 2.1.3.8

化简答案。

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解题步骤 2.1.3.8.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0}{0 \cdot ({(- 1)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 2.1.3.8.2

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.8.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 2.1.3.8.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1)}$

解题步骤 2.1.3.8.3

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

解题步骤 2.1.3.8.4

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.8.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.9

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (x + 1) + 2 (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x^{2} - 1)} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 (x + 1) + 2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 (x + 1) + 2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $4 (x + 1) + 2 (x^{2} - 1)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 (x + 1)] + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 (x + 1)] + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

解题步骤 2.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 (x + 1)]$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 (x + 1)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x + 1]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

解题步骤 2.3.3.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

解题步骤 2.3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

解题步骤 2.3.3.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

解题步骤 2.3.3.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

解题步骤 2.3.3.6

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

解题步骤 2.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 (x^{2} - 1)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

解题步骤 2.3.4.2

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

解题步骤 2.3.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 2 (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

解题步骤 2.3.4.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 2 (2 x + 0)}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

解题步骤 2.3.4.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 2 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

解题步骤 2.3.4.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 4 x}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

解题步骤 2.3.5

重新排序项。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

解题步骤 2.3.6

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + 1$ 且 $g (x) = x^{2} - 1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{(x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

解题步骤 2.3.7

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

解题步骤 2.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{(x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

解题步骤 2.3.9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{(x + 1) (2 x + 0) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

解题步骤 2.3.10

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{(x + 1) (2 x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

解题步骤 2.3.11

将 $2$ 移到 $x + 1$ 的左侧。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 \cdot (x + 1) x + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

解题步骤 2.3.12

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

解题步骤 2.3.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}$

解题步骤 2.3.14

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) (1 + 0)}$

解题步骤 2.3.15

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) \cdot 1}$

解题步骤 2.3.16

将 $x^{2} - 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x + 1) x + x^{2} - 1}$

解题步骤 2.3.17

化简。

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解题步骤 2.3.17.1

运用分配律。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{(2 x + 2 \cdot 1) x + x^{2} - 1}$

解题步骤 2.3.17.2

运用分配律。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1}$

解题步骤 2.3.17.3

合并项。

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解题步骤 2.3.17.3.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1}$

解题步骤 2.3.17.3.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1}$

解题步骤 2.3.17.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1}$

解题步骤 2.3.17.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1}$

解题步骤 2.3.17.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 2 x + x^{2} - 1}$

解题步骤 2.3.17.3.6

将 $2 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 2 x - 1}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 x + 4}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 x + lim_{x \to - 1} 4}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

解题步骤 3.1.2.1.2

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 4}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

解题步骤 3.1.2.1.3

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + 4}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

解题步骤 3.1.2.2

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4 \cdot - 1 + 4}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

解题步骤 3.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 3.1.2.3.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 4 + 4}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

解题步骤 3.1.2.3.2

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.3.1

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1}$

解题步骤 3.1.3.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{3 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1}$

解题步骤 3.1.3.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1}$

解题步骤 3.1.3.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 1}$

解题步骤 3.1.3.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.6

将 $- 1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.3.6.1

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{3 {(- 1)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.6.2

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{3 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.7

化简答案。

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解题步骤 3.1.3.7.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.7.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{3 \cdot 1 + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.7.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{3 + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.7.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{0}{3 - 2 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.7.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{3 - 2 - 1}$

解题步骤 3.1.3.7.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 3.1.3.7.3

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.7.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.8

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 2 x - 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $4 x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

解题步骤 3.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

解题步骤 3.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

解题步骤 3.3.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

解题步骤 3.3.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 0}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

解题步骤 3.3.5

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

解题步骤 3.3.6

根据加法法则， $3 x^{2} + 2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.3.7

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.3.7.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.3.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.3.7.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{6 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.3.8

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 3.3.8.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{6 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.3.8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.3.8.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{6 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.3.9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{6 x + 2 + 0}$

解题步骤 3.3.10

将 $6 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{6 x + 2}$

解题步骤 3.4

约去 $4$ 和 $6 x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \cdot 2}{6 x + 2}$

解题步骤 3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.4.2.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \cdot 2}{2 (3 x) + 2}$

解题步骤 3.4.2.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \cdot 2}{2 (3 x) + 2 (1)}$

解题步骤 3.4.2.3

从 $2 (3 x) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \cdot 2}{2 (3 x + 1)}$

解题步骤 3.4.2.4

约去公因数。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \cdot 2}{2 (3 x + 1)}$

解题步骤 3.4.2.5

重写表达式。

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{3 x + 1}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to - 1} \frac{1}{3 x + 1}$

解题步骤 4.2

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$2 \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} 3 x + 1}$

解题步骤 4.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 3 x + 1}$

解题步骤 4.4

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1}$

解题步骤 4.5

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 \frac{1}{3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

解题步骤 4.6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{1}{3 lim_{x \to - 1} x + 1}$

解题步骤 5

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{1}{3 \cdot - 1 + 1}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简分母。

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解题步骤 6.1.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \frac{1}{- 3 + 1}$

解题步骤 6.1.2

将 $- 3$ 和 $1$ 相加。

$2 (\frac{1}{- 2})$

解题步骤 6.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{1}{2 (- 1)}$

解题步骤 6.2.2

约去公因数。

$2 \frac{1}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 6.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{- 1}$

解题步骤 6.3

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$- 1$

微积分学 示例

微积分学示例