微积分学示例

$\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{1 + t^{3}} d t$

解题步骤 1

化简分母。

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解题步骤 1.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{1^{3} + t^{3}} d t]$

解题步骤 1.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = t$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{(1 + t) (1^{2} - 1 t + t^{2})} d t]$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{(1 + t) (1 - 1 t + t^{2})} d t]$

解题步骤 1.3.2

将 $- 1 t$ 重写为 $- t$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t]$

解题步骤 2

使用微积分基本定理和链式法则，取 $\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d}{d x} [3 x + 2] \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

解题步骤 3

根据加法法则， $3 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$(\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

解题步骤 4.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$(3 + \frac{d}{d x} [2]) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

解题步骤 5

使用常数法则求导。

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解题步骤 5.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(3 + 0) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

解题步骤 5.2

合并分数。

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解题步骤 5.2.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$3 \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

解题步骤 5.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$3 \frac{3 x + 2}{(3 x + 3) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

解题步骤 5.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{3 x + 2}{(3 x + 3) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$ 。

$\frac{3 (3 x + 2)}{(3 x + 3) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

解题步骤 6

约去公因数。

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解题步骤 6.1

从 $(3 x + 3) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (3 x + 2)}{3 ((x + 1) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2}))}$

解题步骤 6.2

约去公因数。

$\frac{3 (3 x + 2)}{3 ((x + 1) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2}))}$

解题步骤 6.3

重写表达式。

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (1 - (3 x) - 1 \cdot 2 + {(3 x + 2)}^{2})}$

解题步骤 7.2

合并项。

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解题步骤 7.2.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (1 - 3 x - 1 \cdot 2 + {(3 x + 2)}^{2})}$

解题步骤 7.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (1 - 3 x - 2 + {(3 x + 2)}^{2})}$

解题步骤 7.2.3

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (- 3 x - 1 + {(3 x + 2)}^{2})}$

解题步骤 7.3

重新排序项。

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + {(3 x + 2)}^{2}) (x + 1)}$

解题步骤 7.4

化简分母。

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解题步骤 7.4.1

将 ${(3 x + 2)}^{2}$ 重写为 $(3 x + 2) (3 x + 2)$ 。

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + (3 x + 2) (3 x + 2)) (x + 1)}$

解题步骤 7.4.2

使用 FOIL 方法展开 $(3 x + 2) (3 x + 2)$ 。

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解题步骤 7.4.2.1

运用分配律。

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 x (3 x + 2) + 2 (3 x + 2)) (x + 1)}$

解题步骤 7.4.2.2

运用分配律。

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x + 2)) (x + 1)}$

解题步骤 7.4.2.3

运用分配律。

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

解题步骤 7.4.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 7.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.4.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

解题步骤 7.4.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.4.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

解题步骤 7.4.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

解题步骤 7.4.3.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

解题步骤 7.4.3.1.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 6 x + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

解题步骤 7.4.3.1.5

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 6 x + 6 x + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

解题步骤 7.4.3.1.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 6 x + 6 x + 4) (x + 1)}$

解题步骤 7.4.3.2

将 $6 x$ 和 $6 x$ 相加。

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 12 x + 4) (x + 1)}$

解题步骤 7.4.4

将 $- 3 x$ 和 $12 x$ 相加。

$\frac{3 x + 2}{(9 x - 1 + 9 x^{2} + 4) (x + 1)}$

解题步骤 7.4.5

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{3 x + 2}{(9 x + 9 x^{2} + 3) (x + 1)}$

解题步骤 7.4.6

重新排序项。

$\frac{3 x + 2}{(9 x^{2} + 9 x + 3) (x + 1)}$

解题步骤 7.4.7

从 $9 x^{2} + 9 x + 3$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 7.4.7.1

从 $9 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 x + 2}{(3 (3 x^{2}) + 9 x + 3) (x + 1)}$

解题步骤 7.4.7.2

从 $9 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 x + 2}{(3 (3 x^{2}) + 3 (3 x) + 3) (x + 1)}$

解题步骤 7.4.7.3

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 x + 2}{(3 (3 x^{2}) + 3 (3 x) + 3 (1)) (x + 1)}$

解题步骤 7.4.7.4

从 $3 (3 x^{2}) + 3 (3 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 x + 2}{(3 (3 x^{2} + 3 x) + 3 (1)) (x + 1)}$

解题步骤 7.4.7.5

从 $3 (3 x^{2} + 3 x) + 3 (1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 x + 2}{3 (3 x^{2} + 3 x + 1) (x + 1)}$

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