微积分学示例

$\sum_{k = 1}^{3} \frac{k^{2}}{k + 1}$

解题步骤 1

展开 $k$ 每个取值的序列。

$\frac{1^{2}}{1 + 1} + \frac{2^{2}}{2 + 1} + \frac{3^{2}}{3 + 1}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{1 + 1} + \frac{2^{2}}{2 + 1} + \frac{3^{2}}{3 + 1}$

解题步骤 2.1.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} + \frac{2^{2}}{2 + 1} + \frac{3^{2}}{3 + 1}$

解题步骤 2.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{2} + \frac{4}{2 + 1} + \frac{3^{2}}{3 + 1}$

解题步骤 2.1.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} + \frac{4}{3} + \frac{3^{2}}{3 + 1}$

解题步骤 2.1.5

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{2} + \frac{4}{3} + \frac{9}{3 + 1}$

解题步骤 2.1.6

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} + \frac{4}{3} + \frac{9}{4}$

解题步骤 2.2

求公分母。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6} + \frac{4}{3} + \frac{9}{4}$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{4}{3} + \frac{9}{4}$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4}$

解题步骤 2.2.4

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{9}{4}$

解题步骤 2.2.5

将 $\frac{9}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 2.2.6

将 $\frac{9}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.7

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{6}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.8

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{6}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.9

重新排序 $4 \cdot 3$ 的因式。

$\frac{6}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{9 \cdot 3}{3 \cdot 4}$

解题步骤 2.2.10

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{6}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{9 \cdot 3}{12}$

解题步骤 2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{6 + 4 \cdot 4 + 9 \cdot 3}{12}$

解题步骤 2.4

化简每一项。

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解题步骤 2.4.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{6 + 16 + 9 \cdot 3}{12}$

解题步骤 2.4.2

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 + 16 + 27}{12}$

解题步骤 2.5

将 $6$ 和 $16$ 相加。

$\frac{22 + 27}{12}$

解题步骤 2.6

将 $22$ 和 $27$ 相加。

$\frac{49}{12}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{49}{12}$

小数形式：

$4.08\overline{3}$

带分数形式：

$4 \frac{1}{12}$

微积分学 示例

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