微积分学示例

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} - e}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 1} x e^{x} - e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} x e^{x} - lim_{x \to 1} e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

解题步骤 1.1.2.2

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} e^{x} - lim_{x \to 1} e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

解题步骤 1.1.2.3

将极限移入指数中。

$\frac{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

解题步骤 1.1.2.4

计算 $e$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x} - e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

解题步骤 1.1.2.5

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.5.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1 \cdot e^{lim_{x \to 1} x} - e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

解题步骤 1.1.2.5.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1 \cdot e^{1} - e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

解题步骤 1.1.2.6

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.6.1.1

将 $e^{1}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{1} - e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

解题步骤 1.1.2.6.1.2

化简。

$\frac{e - e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

解题步骤 1.1.2.6.2

从 $e$ 中减去 $e$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 1.1.3.1.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 1.1.3.1.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} - e}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{x} - e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{x} - e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x e^{x} - e$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

解题步骤 1.3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

解题步骤 1.3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

解题步骤 1.3.3.4

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $- e$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

解题步骤 1.3.5

化简。

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解题步骤 1.3.5.1

将 $x e^{x} + e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

解题步骤 1.3.5.2

重新排序项。

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x} x + e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

解题步骤 1.3.5.3

将 $e^{x} x + e^{x}$ 中的因式重新排序。

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 1.3.8

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{2 x + 0}$

解题步骤 1.3.9

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{2 x}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{x}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x e^{x} + e^{x}}{lim_{x \to 1} x}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x e^{x} + lim_{x \to 1} e^{x}}{lim_{x \to 1} x}$

解题步骤 2.4

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} e^{x} + lim_{x \to 1} e^{x}}{lim_{x \to 1} x}$

解题步骤 2.5

将极限移入指数中。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x} + lim_{x \to 1} e^{x}}{lim_{x \to 1} x}$

解题步骤 2.6

将极限移入指数中。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x} + e^{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x}$

解题步骤 3

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 \cdot e^{lim_{x \to 1} x} + e^{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x}$

解题步骤 3.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 \cdot e^{1} + e^{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x}$

解题步骤 3.3

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 \cdot e^{1} + e^{1}}{lim_{x \to 1} x}$

解题步骤 3.4

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 \cdot e^{1} + e^{1}}{1}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

用 $1 \cdot e^{1} + e^{1}$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (1 \cdot e^{1} + e^{1})$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

将 $e^{1}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (e^{1} + e^{1})$

解题步骤 4.2.2

化简。

$\frac{1}{2} (e + e^{1})$

解题步骤 4.2.3

化简。

$\frac{1}{2} (e + e)$

解题步骤 4.3

将 $e$ 和 $e$ 相加。

$\frac{1}{2} (2 e)$

解题步骤 4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

从 $2 e$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} (2 (e))$

解题步骤 4.4.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} (2 e)$

解题步骤 4.4.3

重写表达式。

$e$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$e$

小数形式：

$2.71828182 \dots$

微积分学 示例

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