微积分学示例

$\arctan (x^{2} + 1)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 1.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 1.3

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} (2 x + 0)$

解题步骤 2.4

合并分数。

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解题步骤 2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} (2 x)$

解题步骤 2.4.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{2}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} x$

解题步骤 2.4.3

组合 $\frac{2}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

重新排序项。

$\frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2} + 1}$

解题步骤 3.2

化简分母。

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解题步骤 3.2.1

将 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ 。

$\frac{2 x}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + 1}$

解题步骤 3.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

运用分配律。

$\frac{2 x}{x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1) + 1}$

解题步骤 3.2.2.2

运用分配律。

$\frac{2 x}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1) + 1}$

解题步骤 3.2.2.3

运用分配律。

$\frac{2 x}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

解题步骤 3.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.3.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.3.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x}{x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

解题步骤 3.2.3.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x}{x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

解题步骤 3.2.3.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x}{x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

解题步骤 3.2.3.1.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x}{x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

解题步骤 3.2.3.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x}{x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 + 1}$

解题步骤 3.2.3.2

将 $x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{2 x}{x^{4} + 2 x^{2} + 1 + 1}$

解题步骤 3.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x}{x^{4} + 2 x^{2} + 2}$

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