微积分学示例

$y = {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{3}{4}}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{3}{4}})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{3}{4}}$ 且 $g (x) = 9 x^{2} - 2 x + 2$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $9 x^{2} - 2 x + 2$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{3}{4}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{3}{4}$ 。

$- \frac{3}{4} u^{- \frac{3}{4} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

解题步骤 3.1.3

使用 $9 x^{2} - 2 x + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{3}{4} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

解题步骤 3.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

解题步骤 3.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

解题步骤 3.4

在公分母上合并分子。

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{- 3 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

解题步骤 3.5.2

从 $- 3$ 中减去 $4$ 。

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{- 7}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

解题步骤 3.6

合并分数。

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解题步骤 3.6.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{7}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

解题步骤 3.6.2

组合 ${(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{7}{4}}$ 和 $\frac{3}{4}$ 。

$- \frac{{(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{7}{4}} \cdot 3}{4} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

解题步骤 3.6.3

化简表达式。

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解题步骤 3.6.3.1

将 $3$ 移到 ${(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{7}{4}}$ 的左侧。

$- \frac{3 \cdot {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{7}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

解题步骤 3.6.3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{7}{4}}$ 移动到分母。

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

解题步骤 3.7

根据加法法则， $9 x^{2} - 2 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 3.8

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 3.10

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 3.11

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 3.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 3.13

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x - 2 + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 3.14

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x - 2 + 0)$

解题步骤 3.15

将 $18 x - 2$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x - 2)$

解题步骤 3.16

化简。

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解题步骤 3.16.1

重新排序 $- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x - 2)$ 的因式。

$- (18 x - 2) \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

解题步骤 3.16.2

运用分配律。

$(- (18 x) - - 2) \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

解题步骤 3.16.3

将 $18$ 乘以 $- 1$ 。

$(- 18 x - - 2) \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

解题步骤 3.16.4

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$(- 18 x + 2) \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

解题步骤 3.16.5

将 $- 18 x + 2$ 乘以 $\frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$ 。

$\frac{(- 18 x + 2) \cdot 3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

解题步骤 3.16.6

从 $(- 18 x + 2) \cdot 3$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 ((- 9 x + 1) \cdot 3)}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

解题步骤 3.16.7

约去公因数。

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解题步骤 3.16.7.1

从 $4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 ((- 9 x + 1) \cdot 3)}{2 (2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}})}$

解题步骤 3.16.7.2

约去公因数。

$\frac{2 ((- 9 x + 1) \cdot 3)}{2 (2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}})}$

解题步骤 3.16.7.3

重写表达式。

$\frac{(- 9 x + 1) \cdot 3}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

解题步骤 3.16.8

将 $3$ 移到 $- 9 x + 1$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot (- 9 x + 1)}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

解题步骤 3.16.9

从 $- 9 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (9 x) + 1)}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

解题步骤 3.16.10

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{3 (- (9 x) - 1 (- 1))}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

解题步骤 3.16.11

从 $- (9 x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (9 x - 1))}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

解题步骤 3.16.12

将 $- (9 x - 1)$ 重写为 $- 1 (9 x - 1)$ 。

$\frac{3 (- 1 (9 x - 1))}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

解题步骤 3.16.13

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 (9 x - 1)}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \frac{3 (9 x - 1)}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 (9 x - 1)}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

微积分学 示例

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