微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} \cos^{4} (2 x) d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = 2 x$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = 2 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u_{1} = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

解题步骤 1.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u_{1} = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{8}$

解题步骤 1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

解题步骤 1.5.2

约去公因数。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.5.3

重写表达式。

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

解题步骤 1.7

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos^{4} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2

组合 $\cos^{4} (u_{1})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\cos^{4} (u_{1})}{2} d u_{1}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos^{4} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 4

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} {\cos (u_{1})}^{2 (2)} d u_{1}$

解题步骤 4.2

将 ${\cos (u_{1})}^{2 (2)}$ 重写为乘方形式。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\cos^{2} (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

解题步骤 5

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (u_{1})$ 的形式。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

解题步骤 6

使 $u_{2} = 2 u_{1}$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u_{2} = 2 u_{1}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $2 u_{1}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

解题步骤 6.1.2

因为 $2$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $2 u_{1}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 6.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 6.2

将下限代入替换 $u_{2} = 2 u_{1}$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

解题步骤 6.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 6.4

将上限代入替换 $u_{2} = 2 u_{1}$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

解题步骤 6.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

解题步骤 6.5.2

约去公因数。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.5.3

重写表达式。

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

解题步骤 6.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

解题步骤 6.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\frac{1 + \cos (u_{2})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\frac{1 + \cos (u_{2})}{2})}^{2} d u_{2})$

解题步骤 8

化简项。

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解题步骤 8.1

化简。

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解题步骤 8.1.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\frac{1 + \cos (u_{2})}{2})}^{2} d u_{2}$

解题步骤 8.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\frac{1 + \cos (u_{2})}{2})}^{2} d u_{2}$

解题步骤 8.2

将 $\frac{1 + \cos (u_{2})}{2}$ 重写为乘积形式。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2})))}^{2} d u_{2}$

解题步骤 8.3

展开 ${(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2})))}^{2}$ 。

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解题步骤 8.3.1

将幂重写为乘积形式。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2}))) d u_{2}$

解题步骤 8.3.2

运用分配律。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2}))) d u_{2}$

解题步骤 8.3.3

运用分配律。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.3.4

运用分配律。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.3.5

运用分配律。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.3.6

运用分配律。

解题步骤 8.3.7

将 $\frac{1}{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.3.8

将 $\frac{1}{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.3.9

移动 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.3.10

将 $\frac{1}{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.3.11

将 $\frac{1}{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.3.12

移动 $\cos (u_{2})$ 。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.3.13

将 $\frac{1}{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) + 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.3.14

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8.3.15

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8.3.16

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8.3.17

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8.3.18

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8.3.19

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8.3.20

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8.3.21

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\cos (u_{2})$ 。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8.3.22

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8.3.23

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\cos (u_{2})$ 。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8.3.24

将 $\frac{\cos (u_{2})}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8.3.25

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8.3.26

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\cos (u_{2})$ 。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8.3.27

将 $\frac{\cos (u_{2})}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{2 \cdot 2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8.3.28

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8.3.29

组合 $\frac{\cos (u_{2})}{4}$ 和 $\cos (u_{2})$ 。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2}) \cos (u_{2})}{4} d u_{2}$

解题步骤 8.3.30

对 $\cos (u_{2})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{2}) \cos (u_{2})}{4} d u_{2}$

解题步骤 8.3.31

对 $\cos (u_{2})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{2}) \cos^{1} (u_{2})}{4} d u_{2}$

解题步骤 8.3.32

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{{\cos (u_{2})}^{1 + 1}}{4} d u_{2}$

解题步骤 8.3.33

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

解题步骤 8.3.34

将 $\frac{\cos (u_{2})}{4}$ 和 $\frac{\cos (u_{2})}{4}$ 相加。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + 2 \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

解题步骤 8.3.35

组合 $2$ 和 $\frac{\cos (u_{2})}{4}$ 。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

解题步骤 8.3.36

将 $\frac{2 \cos (u_{2})}{4}$ 和 $\frac{\cos^{2} (u_{2})}{4}$ 重新排序。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{2 \cos (u_{2})}{4} d u_{2}$

解题步骤 8.3.37

将 $\frac{1}{4}$ 和 $\frac{\cos^{2} (u_{2})}{4}$ 重新排序。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{2})}{4} d u_{2}$

解题步骤 8.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.1

从 $2 \cos (u_{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (\cos (u_{2}))}{4} d u_{2}$

解题步骤 8.4.2

约去公因数。

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解题步骤 8.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{2})}{2 \cdot 2} d u_{2}$

解题步骤 8.4.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{2})}{2 \cdot 2} d u_{2}$

解题步骤 8.4.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

解题步骤 9

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{4} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 10

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{2}) d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 11

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (u_{2})$ 的形式。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 12

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2}) + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2 \cdot 4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 13.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 14

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 u_{2}) d u_{2}) + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 15

应用常数不变法则。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 u_{2}) d u_{2}) + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 16

使 $u_{3} = 2 u_{2}$ 。然后使 $d u_{3} = 2 d u_{2}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ 。使用 $u_{3}$ 和 $d$ $u_{3}$ 进行重写。

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解题步骤 16.1

设 $u_{3} = 2 u_{2}$ 。求 $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ 。

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解题步骤 16.1.1

对 $2 u_{2}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$

解题步骤 16.1.2

因为 $2$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以 $2 u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的导数是 $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$

解题步骤 16.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 16.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 16.2

将下限代入替换 $u_{3} = 2 u_{2}$ 中的 $u_{2}$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

解题步骤 16.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 16.4

将上限代入替换 $u_{3} = 2 u_{2}$ 中的 $u_{2}$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

解题步骤 16.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 16.5.1

约去公因数。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

解题步骤 16.5.2

重写表达式。

$u_{upper} = π$

解题步骤 16.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

解题步骤 16.7

使用 $u_{3}$ 、 $d u_{3}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} d u_{3}) + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 17

组合 $\cos (u_{3})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3}) + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 18

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{3}) d u_{3}) + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 19

$\cos (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的积分为 $\sin (u_{3})$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{3})]_{0}^{π}) + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 20

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (u_{3})]_{0}^{π}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2}) + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{4} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 21

应用常数不变法则。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2}) + \frac{1}{4} u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 22

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2}) + \frac{u_{2}}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 23

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2}) + \frac{u_{2}}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u_{2}) d u_{2})$

解题步骤 24

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\sin (u_{2})$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2}) + \frac{u_{2}}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{\frac{π}{2}})$

解题步骤 25

化简。

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解题步骤 25.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (u_{2})]_{0}^{\frac{π}{2}}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2}) + \frac{u_{2}}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{\frac{π}{2}}}{2})$

解题步骤 25.2

要将 $\frac{1}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{\frac{π}{2}}}{2} + \frac{u_{2}}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}})$

解题步骤 25.3

组合 $\frac{1}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2})$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2}) \cdot 2}{2} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{\frac{π}{2}}}{2} + \frac{u_{2}}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}})$

解题步骤 25.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2}) \cdot 2 + \sin (u_{2})]_{0}^{\frac{π}{2}}}{2} + \frac{u_{2}}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}})$

解题步骤 25.5

组合 $2$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{2}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2}) + \sin (u_{2})]_{0}^{\frac{π}{2}}}{2} + \frac{u_{2}}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}})$

解题步骤 25.6

约去 $2$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 25.6.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{2 (1)}{8} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2}) + \sin (u_{2})]_{0}^{\frac{π}{2}}}{2} + \frac{u_{2}}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}})$

解题步骤 25.6.2

约去公因数。

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解题步骤 25.6.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2}) + \sin (u_{2})]_{0}^{\frac{π}{2}}}{2} + \frac{u_{2}}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}})$

解题步骤 25.6.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2}) + \sin (u_{2})]_{0}^{\frac{π}{2}}}{2} + \frac{u_{2}}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}})$

解题步骤 25.6.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (u_{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2}) + \sin (u_{2})]_{0}^{\frac{π}{2}}}{2} + \frac{u_{2}}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}})$

解题步骤 26

代入并化简。

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解题步骤 26.1

计算 $u_{2}$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{π}}{2}) + \sin (u_{2})]_{0}^{\frac{π}{2}}}{2} + \frac{u_{2}}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}})$

解题步骤 26.2

计算 $\sin (u_{3})$ 在 $π$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{(\sin (π)) - \sin (0)}{2}) + \sin (u_{2})]_{0}^{\frac{π}{2}}}{2} + \frac{u_{2}}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}})$

解题步骤 26.3

计算 $\sin (u_{2})$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{(\sin (π)) - \sin (0)}{2}) + (\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{2} + \frac{u_{2}}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}})$

解题步骤 26.4

计算 $\frac{u_{2}}{4}$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{(\sin (π)) - \sin (0)}{2}) + (\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{2} + (\frac{\frac{π}{2}}{4}) - \frac{0}{4})$

解题步骤 26.5

化简。

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解题步骤 26.5.1

将 $\frac{π}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (0)}{2}) + (\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{2} + (\frac{\frac{π}{2}}{4}) - \frac{0}{4})$

解题步骤 26.5.2

将 $\frac{\frac{π}{2}}{4}$ 重写为乘积形式。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - \sin (0)}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4} - \frac{0}{4})$

解题步骤 26.5.3

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - \sin (0)}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{2} + \frac{π}{2 \cdot 4} - \frac{0}{4})$

解题步骤 26.5.4

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - \sin (0)}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{2} + \frac{π}{8} - \frac{0}{4})$

解题步骤 26.5.5

约去 $0$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 26.5.5.1

从 $0$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - \sin (0)}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{2} + \frac{π}{8} - \frac{4 (0)}{4})$

解题步骤 26.5.5.2

约去公因数。

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解题步骤 26.5.5.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - \sin (0)}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{2} + \frac{π}{8} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

解题步骤 26.5.5.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - \sin (0)}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{2} + \frac{π}{8} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

解题步骤 26.5.5.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - \sin (0)}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{2} + \frac{π}{8} - \frac{0}{1})$

解题步骤 26.5.5.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - \sin (0)}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{2} + \frac{π}{8} - 0)$

解题步骤 26.5.6

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - \sin (0)}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{2} + \frac{π}{8} + 0)$

解题步骤 26.5.7

将 $\frac{π}{8}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - \sin (0)}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{2} + \frac{π}{8})$

解题步骤 27

化简。

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解题步骤 27.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - 0}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{2} + \frac{π}{8})$

解题步骤 27.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - 0}{2}) + 1 - \sin (0)}{2} + \frac{π}{8})$

解题步骤 27.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - 0}{2}) + 1 - 0}{2} + \frac{π}{8})$

解题步骤 27.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) + 0}{2}) + 1 - 0}{2} + \frac{π}{8})$

解题步骤 27.5

将 $\sin (π)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π)}{2}) + 1 - 0}{2} + \frac{π}{8})$

解题步骤 27.6

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π)}{2}) + 1 + 0}{2} + \frac{π}{8})$

解题步骤 27.7

将 $\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π)}{2}) + 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π)}{2}) + 1}{2} + \frac{π}{8})$

解题步骤 28

化简。

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解题步骤 28.1

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{π + \sin (π)}{2} + 1}{2} + \frac{π}{8})$

解题步骤 28.2

化简每一项。

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解题步骤 28.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{π + \sin (0)}{2} + 1}{2} + \frac{π}{8})$

解题步骤 28.2.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{π + 0}{2} + 1}{2} + \frac{π}{8})$

解题步骤 28.3

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2} + 1}{2} + \frac{π}{8})$

解题步骤 28.4

乘以 $\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 28.4.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{π}{4 \cdot 2} + 1}{2} + \frac{π}{8})$

解题步骤 28.4.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{π}{8} + 1}{2} + \frac{π}{8})$

解题步骤 28.5

化简每一项。

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解题步骤 28.5.1

化简分子。

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解题步骤 28.5.1.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{π}{8} + \frac{8}{8}}{2} + \frac{π}{8})$

解题步骤 28.5.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{π + 8}{8}}{2} + \frac{π}{8})$

解题步骤 28.5.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{4} (\frac{π + 8}{8} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π}{8})$

解题步骤 28.5.3

乘以 $\frac{π + 8}{8} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 28.5.3.1

将 $\frac{π + 8}{8}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{π + 8}{8 \cdot 2} + \frac{π}{8})$

解题步骤 28.5.3.2

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{π + 8}{16} + \frac{π}{8})$

解题步骤 28.6

要将 $\frac{π}{8}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{π + 8}{16} + \frac{π}{8} \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 28.7

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $16$ 的形式。

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解题步骤 28.7.1

将 $\frac{π}{8}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{π + 8}{16} + \frac{π \cdot 2}{8 \cdot 2})$

解题步骤 28.7.2

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{π + 8}{16} + \frac{π \cdot 2}{16})$

解题步骤 28.8

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{π + 8 + π \cdot 2}{16}$

解题步骤 28.9

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{π + 8 + 2 \cdot π}{16}$

解题步骤 28.10

将 $π$ 和 $2 π$ 相加。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 π + 8}{16}$

解题步骤 28.11

乘以 $\frac{1}{4} \cdot \frac{3 π + 8}{16}$ 。

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解题步骤 28.11.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{3 π + 8}{16}$ 。

$\frac{3 π + 8}{4 \cdot 16}$

解题步骤 28.11.2

将 $4$ 乘以 $16$ 。

$\frac{3 π + 8}{64}$

解题步骤 29

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{3 π + 8}{64}$

小数形式：

$0.27226215 \dots$

微积分学 示例

微积分学示例