微积分学示例

$y = \frac{\ln (1 - x^{2})}{x - 1}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \ln (1 - x^{2})$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [\ln (1 - x^{2})] - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 1 - x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - x^{2}$ 。

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{(x - 1) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用 $1 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{(x - 1) (\frac{1}{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

根据加法法则， $1 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 - x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 - x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 - x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 - x^{2}} (- (2 x)) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 - x^{2}} (- 2 x) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{1 - x^{2}}$ 。

$\frac{(x - 1) \frac{- 2}{1 - x^{2}} x - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6.3

组合 $x$ 和 $\frac{- 2}{1 - x^{2}}$ 。

$\frac{(x - 1) \frac{x \cdot - 2}{1 - x^{2}} - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.4.1

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{(x - 1) \frac{- 2 \cdot x}{1 - x^{2}} - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6.4.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1 - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.7

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1 - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1 - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1 - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2}) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.10

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.10.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1 - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2}) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.10.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1 - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1.1

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1^{2} - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.1.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}) - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.1.2

运用分配律。

$\frac{x (- \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}) - 1 (- \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}) - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- x \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - 1 (- \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}) - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.1.4

乘以 $- 1 (- \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- x \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} + 1 \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.1.4.2

将 $\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- x \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.1.5

乘以 $- x \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1.5.1

组合 $\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}$ 和 $x$ 。

$\frac{- \frac{2 x \cdot x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.1.5.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \frac{2 (x^{1} x)}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.1.5.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \frac{2 (x^{1} x^{1})}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.1.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- \frac{2 x^{1 + 1}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.1.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \frac{2 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2

要将 $- \ln (1 - x^{2})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$ 。

$\frac{\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{2 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2}) \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3

组合 $- \ln (1 - x^{2})$ 和 $\frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$ 。

$\frac{\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{2 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- \ln (1 - x^{2}) ((1 + x) (1 - x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) ((1 + x) (1 - x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) ((1 + x) (1 - x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.6

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.6.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + x) (1 - x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.6.1.1

运用分配律。

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 (1 - x) + x (1 - x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.6.1.2

运用分配律。

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.6.1.3

运用分配律。

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.6.2

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.6.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.6.2.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.6.2.1.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 - x + x \cdot 1 + x (- x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.6.2.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 - x + x + x (- x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.6.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 - x + x - x \cdot x)}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.6.2.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.6.2.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 - x + x - (x \cdot x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.6.2.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 - x + x - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.6.2.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 + 0 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.6.2.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.6.3

运用分配律。

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) \cdot 1 - \ln (1 - x^{2}) (- x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.6.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) - \ln (1 - x^{2}) (- x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.6.5

乘以 $- \ln (1 - x^{2}) (- x^{2})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.6.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + 1 \ln (1 - x^{2}) x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.6.5.2

将 $\ln (1 - x^{2})$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + \ln (1 - x^{2}) x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.7

将 $2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + \ln (1 - x^{2}) x^{2}$ 中的因式重新排序。

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

将 $\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$ 重写为乘积形式。

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

将 $\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$ 乘以 $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ 。

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x) {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2.3

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (- 1 (- 1) - x) {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2.4

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (- 1 (- 1) - (x)) {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2.5

从 $- 1 (- 1) - (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (- 1 (- 1 + x)) {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2.6

重新排序项。

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) \cdot - 1 (x - 1) {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2.7

通过指数相加将 $x - 1$ 乘以 ${(x - 1)}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.7.1

移动 ${(x - 1)}^{2}$ 。

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) \cdot - 1 ({(x - 1)}^{2} (x - 1))}$

解题步骤 4.2.7.2

将 ${(x - 1)}^{2}$ 乘以 $x - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.7.2.1

对 $x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) \cdot - 1 ({(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{1})}$

解题步骤 4.2.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) \cdot - 1 {(x - 1)}^{2 + 1}}$

解题步骤 4.2.7.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) \cdot - 1 {(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 4.2.8

将 $- 1$ 移到 $1 + x$ 的左侧。

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{- 1 \cdot (1 + x) {(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 4.2.9

将 $- 1 (1 + x)$ 重写为 $- (1 + x)$ 。

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{- (1 + x) {(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 4.2.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) {(x - 1)}^{3}}$

微积分学 示例

微积分学示例