微积分学示例

$x = \sqrt{\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}}$ 重写成 ${(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d θ} [{(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 等于 $f' (g (θ)) g' (θ)$ ，其中 $f (θ) = θ^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (θ) = \frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

解题步骤 2.3

使用 $\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

解题步骤 8

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [\frac{f (θ)}{g (θ)}]$ 等于 $\frac{g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)] - f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)]}{{g (θ)}^{2}}$ ，其中 $f (θ) = 1 + \cos (θ)$ 且 $g (θ) = 1 - \cos (θ)$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [1 + \cos (θ)] - (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

解题步骤 9

求微分。

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解题步骤 9.1

根据加法法则， $1 + \cos (θ)$ 对 $θ$ 的导数是 $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]) - (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

解题步骤 9.2

因为 $1$ 对于 $θ$ 是常数，所以 $1$ 对 $θ$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (0 + \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]) - (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

解题步骤 9.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ 相加。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] - (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

解题步骤 10

$\cos (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $- \sin (θ)$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) - (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

解题步骤 11

求微分。

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解题步骤 11.1

根据加法法则， $1 - \cos (θ)$ 对 $θ$ 的导数是 $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) - (1 + \cos (θ)) (\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)])}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

解题步骤 11.2

因为 $1$ 对于 $θ$ 是常数，所以 $1$ 对 $θ$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) - (1 + \cos (θ)) (0 + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)])}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

解题步骤 11.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]$ 相加。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) - (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

解题步骤 11.4

因为 $- 1$ 对于 $θ$ 是常数，所以 $- \cos (θ)$ 对 $θ$ 的导数是 $- \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) - (1 + \cos (θ)) (- \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

解题步骤 11.5

乘。

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解题步骤 11.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + 1 (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

解题步骤 11.5.2

将 $1 + \cos (θ)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

解题步骤 12

$\cos (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $- \sin (θ)$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

解题步骤 13

合并分数。

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解题步骤 13.1

将 $\frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{{(1 - \cos (θ))}^{2} \cdot 2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 13.2

将 $2$ 移到 ${(1 - \cos (θ))}^{2}$ 的左侧。

$\frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{2 \cdot {(1 - \cos (θ))}^{2}} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$\frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} {(\frac{1 - \cos (θ)}{1 + \cos (θ)})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 14.2

对 $\frac{1 - \cos (θ)}{1 + \cos (θ)}$ 运用乘积法则。

$\frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.3

运用分配律。

$\frac{1 (- \sin (θ)) - \cos (θ) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.4

运用分配律。

$\frac{1 (- \sin (θ)) - \cos (θ) (- \sin (θ)) + 1 (- \sin (θ)) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.5

合并项。

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解题步骤 14.5.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 1 \sin (θ) - \cos (θ) (- \sin (θ)) + 1 (- \sin (θ)) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.5.2

将 $- 1 \sin (θ)$ 重写为 $- \sin (θ)$ 。

$\frac{- \sin (θ) - \cos (θ) (- \sin (θ)) + 1 (- \sin (θ)) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.5.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- \sin (θ) + 1 \cos (θ) \sin (θ) + 1 (- \sin (θ)) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.5.4

将 $\cos (θ)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sin (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + 1 (- \sin (θ)) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.5.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sin (θ) + \cos (θ) \sin (θ) - 1 \sin (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.5.6

将 $- 1 \sin (θ)$ 重写为 $- \sin (θ)$ 。

$\frac{- \sin (θ) + \cos (θ) \sin (θ) - \sin (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.5.7

从 $- \sin (θ)$ 中减去 $\sin (θ)$ 。

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.5.8

将 $\cos (θ) \sin (θ)$ 和 $\cos (θ) (- \sin (θ))$ 相加。

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解题步骤 14.5.8.1

将 $\cos (θ)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - 1 \cdot \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.5.8.2

从 $\cos (θ) \sin (θ)$ 中减去 $\cos (θ) \sin (θ)$ 。

$\frac{0 - 2 \sin (θ)}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.5.9

从 $0$ 中减去 $2 \sin (θ)$ 。

$\frac{- 2 \sin (θ)}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.5.10

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.5.10.1

从 $- 2 \sin (θ)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.5.10.2

约去公因数。

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解题步骤 14.5.10.2.1

从 $2 {(1 - \cos (θ))}^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- \sin (θ))}{2 ({(1 - \cos (θ))}^{2})} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.5.10.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.5.10.2.3

重写表达式。

$\frac{- \sin (θ)}{{(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.5.11

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.5.12

将 $\frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{\sin (θ)}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$ 。

$- \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} \sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{2}}$

解题步骤 14.5.13

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{2} {(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.5.14

通过指数相加将 ${(1 - \cos (θ))}^{2}$ 乘以 ${(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 14.5.14.1

移动 ${(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} ({(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{2})}$

解题步骤 14.5.14.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2} + 2}}$

解题步骤 14.5.14.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

解题步骤 14.5.14.4

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

解题步骤 14.5.14.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

解题步骤 14.5.14.6

化简分子。

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解题步骤 14.5.14.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

解题步骤 14.5.14.6.2

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{\frac{3}{2}}}$

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