微积分学示例

$\frac{3 + 2 x^{2}}{1 - 5 x^{2}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 3 + 2 x^{2}$ 且 $g (x) = 1 - 5 x^{2}$ 。

$\frac{(1 - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 + 2 x^{2}] - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 + 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

$\frac{(1 - 5 x^{2}) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]) - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(1 - 5 x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]) - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 相加。

$\frac{(1 - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2}] - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(1 - 5 x^{2}) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.5

将 $2$ 移到 $1 - 5 x^{2}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (1 - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2 (1 - 5 x^{2}) (2 x) - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.7

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.8

根据加法法则， $1 - 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ 。

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x - (3 + 2 x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}])}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x - (3 + 2 x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}])}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.10

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ 相加。

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.11

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x - (3 + 2 x^{2}) (- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.12

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x + 5 (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x + 5 (3 + 2 x^{2}) (2 x)}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.14

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x + 10 (3 + 2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{(4 \cdot 1 + 4 (- 5 x^{2})) x + 10 (3 + 2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{4 \cdot 1 x + 4 (- 5 x^{2}) x + 10 (3 + 2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\frac{4 \cdot 1 x + 4 (- 5 x^{2}) x + (10 \cdot 3 + 10 (2 x^{2})) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$\frac{4 \cdot 1 x + 4 (- 5 x^{2}) x + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.1.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 x + 4 (- 5 x^{2}) x + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{4 x + 4 (- 5 (x \cdot x^{2})) + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 x + 4 (- 5 (x^{1} x^{2})) + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 x + 4 (- 5 x^{1 + 2}) + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 x + 4 (- 5 x^{3}) + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.3

将 $- 5$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.4

将 $10$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 30 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 30 x + 10 (2 (x \cdot x^{2}))}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.1.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 30 x + 10 (2 (x^{1} x^{2}))}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 30 x + 10 (2 x^{1 + 2})}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 30 x + 10 (2 x^{3})}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.6

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 30 x + 20 x^{3}}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.2

合并 $4 x - 20 x^{3} + 30 x + 20 x^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $- 20 x^{3}$ 和 $20 x^{3}$ 相加。

$\frac{4 x + 30 x + 0}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.2.2

将 $4 x + 30 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 x + 30 x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.3

将 $4 x$ 和 $30 x$ 相加。

$\frac{34 x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.6

重新排序项。

$\frac{34 x}{{(- 5 x^{2} + 1)}^{2}}$

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