微积分学示例

$f (x) = x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{2} + 1$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$4 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x + 0$

解题步骤 1.4.2

将 $4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 x - 16 \frac{d}{d x} x$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 x - 16 \cdot 1$

解题步骤 2.4.3

将 $- 16$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 x - 16$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$4 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x + 0$

解题步骤 4.1.4.2

将 $4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x$ 。

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x = 0$

解题步骤 5.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.2.1

从 $4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) + 12 x^{2} - 16 x = 0$

解题步骤 5.2.1.2

从 $12 x^{2}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) + 4 x (3 x) - 16 x = 0$

解题步骤 5.2.1.3

从 $- 16 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) + 4 x (3 x) + 4 x (- 4) = 0$

解题步骤 5.2.1.4

从 $4 x (x^{2}) + 4 x (3 x)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2} + 3 x) + 4 x (- 4) = 0$

解题步骤 5.2.1.5

从 $4 x (x^{2} + 3 x) + 4 x (- 4)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2} + 3 x - 4) = 0$

解题步骤 5.2.2

因数。

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解题步骤 5.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 3 x - 4$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 4$ ，和为 $3$ 。

$- 1, 4$

解题步骤 5.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$4 x ((x - 1) (x + 4)) = 0$

解题步骤 5.2.2.2

去掉多余的括号。

$4 x (x - 1) (x + 4) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.5

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 5.5.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 5.6

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.6.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 5.6.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 5.7

最终解为使 $4 x (x - 1) (x + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 1, - 4$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, 1, - 4$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(0)}^{2} + 24 (0) - 16$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$12 \cdot 0 + 24 (0) - 16$

解题步骤 9.1.2

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$0 + 24 (0) - 16$

解题步骤 9.1.3

将 $24$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 - 16$

解题步骤 9.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 - 16$

解题步骤 9.2.2

从 $0$ 中减去 $16$ 。

$- 16$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {(0)}^{4} + 4 {(0)}^{3} - 8 {(0)}^{2} + 1$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 4 {(0)}^{3} - 8 {(0)}^{2} + 1$

解题步骤 11.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 4 \cdot 0 - 8 {(0)}^{2} + 1$

解题步骤 11.2.1.3

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 - 8 {(0)}^{2} + 1$

解题步骤 11.2.1.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 - 8 \cdot 0 + 1$

解题步骤 11.2.1.5

将 $- 8$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 1$

解题步骤 11.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 0 + 1$

解题步骤 11.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 1$

解题步骤 11.2.2.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (0) = 1$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 12

计算在 $x = 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(1)}^{2} + 24 (1) - 16$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

一的任意次幂都为一。

$12 \cdot 1 + 24 (1) - 16$

解题步骤 13.1.2

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$12 + 24 (1) - 16$

解题步骤 13.1.3

将 $24$ 乘以 $1$ 。

$12 + 24 - 16$

解题步骤 13.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 13.2.1

将 $12$ 和 $24$ 相加。

$36 - 16$

解题步骤 13.2.2

从 $36$ 中减去 $16$ 。

$20$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 1$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 1$ 是一个极小值

解题步骤 15

求 $x = 1$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = {(1)}^{4} + 4 {(1)}^{3} - 8 {(1)}^{2} + 1$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 1 + 4 {(1)}^{3} - 8 {(1)}^{2} + 1$

解题步骤 15.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 1 + 4 \cdot 1 - 8 {(1)}^{2} + 1$

解题步骤 15.2.1.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 1 + 4 - 8 {(1)}^{2} + 1$

解题步骤 15.2.1.4

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 1 + 4 - 8 \cdot 1 + 1$

解题步骤 15.2.1.5

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 1 + 4 - 8 + 1$

解题步骤 15.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 15.2.2.1

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$f (1) = 5 - 8 + 1$

解题步骤 15.2.2.2

从 $5$ 中减去 $8$ 。

$f (1) = - 3 + 1$

解题步骤 15.2.2.3

将 $- 3$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = - 2$

解题步骤 15.2.3

最终答案为 $- 2$ 。

$y = - 2$

解题步骤 16

计算在 $x = - 4$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(- 4)}^{2} + 24 (- 4) - 16$

解题步骤 17

计算二阶导数。

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解题步骤 17.1

化简每一项。

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解题步骤 17.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 \cdot 16 + 24 (- 4) - 16$

解题步骤 17.1.2

将 $12$ 乘以 $16$ 。

$192 + 24 (- 4) - 16$

解题步骤 17.1.3

将 $24$ 乘以 $- 4$ 。

$192 - 96 - 16$

解题步骤 17.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 17.2.1

从 $192$ 中减去 $96$ 。

$96 - 16$

解题步骤 17.2.2

从 $96$ 中减去 $16$ 。

$80$

解题步骤 18

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - 4$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 4$ 是一个极小值

解题步骤 19

求 $x = - 4$ 时的 y 值。

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解题步骤 19.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 4) = {(- 4)}^{4} + 4 {(- 4)}^{3} - 8 {(- 4)}^{2} + 1$

解题步骤 19.2

化简结果。

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解题步骤 19.2.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.1

对 $- 4$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- 4) = 256 + 4 {(- 4)}^{3} - 8 {(- 4)}^{2} + 1$

解题步骤 19.2.1.2

对 $- 4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 4) = 256 + 4 \cdot - 64 - 8 {(- 4)}^{2} + 1$

解题步骤 19.2.1.3

将 $4$ 乘以 $- 64$ 。

$f (- 4) = 256 - 256 - 8 {(- 4)}^{2} + 1$

解题步骤 19.2.1.4

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 4) = 256 - 256 - 8 \cdot 16 + 1$

解题步骤 19.2.1.5

将 $- 8$ 乘以 $16$ 。

$f (- 4) = 256 - 256 - 128 + 1$

解题步骤 19.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 19.2.2.1

从 $256$ 中减去 $256$ 。

$f (- 4) = 0 - 128 + 1$

解题步骤 19.2.2.2

从 $0$ 中减去 $128$ 。

$f (- 4) = - 128 + 1$

解题步骤 19.2.2.3

将 $- 128$ 和 $1$ 相加。

$f (- 4) = - 127$

解题步骤 19.2.3

最终答案为 $- 127$ 。

$y = - 127$

解题步骤 20

这些是 $f (x) = x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{2} + 1$ 的局部极值。

$(0, 1)$ 是一个局部最大值

$(1, - 2)$ 是一个局部最小值

$(- 4, - 127)$ 是一个局部最小值

解题步骤 21

微积分学 示例

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