微积分学示例

$4 x \cdot \ln (x)$

解题步骤 1

将 $4 x \cdot \ln (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = 4 x \cdot \ln (x)$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 4 x \cdot \ln (x) d x$

解题步骤 4

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int x \cdot \ln (x) d x$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = x$ 。

$4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$4 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 6.2

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 6.4

将 $\frac{x^{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

解题步骤 6.5

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

解题步骤 6.5.2

约去公因数。

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解题步骤 6.5.2.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

解题步骤 6.5.2.2

约去公因数。

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

解题步骤 6.5.2.3

重写表达式。

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

解题步骤 8

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

解题步骤 9.2

将 $4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$ 重写为 $4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$ 。

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

解题步骤 9.3

重新排序项。

$4 (\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = 4 x \cdot \ln (x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $4 (\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + C$

微积分学 示例

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