微积分学示例

$\sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 1

将 $\sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 4

使 $u_{2} = \sin^{2} (x)$ 。然后使 $d u_{2} = \sin (2 x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\sin (2 x)} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u_{2} = \sin^{2} (x)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $\sin^{2} (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 4.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin (x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.1.2.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.1.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 4.1.4

化简。

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解题步骤 4.1.4.1

重新排序 $2 \sin (x) \cos (x)$ 的因式。

$2 \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 4.1.4.2

将 $2 \cos (x)$ 和 $\sin (x)$ 重新排序。

$\sin (x) (2 \cos (x))$

解题步骤 4.1.4.3

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 4.1.4.4

使用正弦倍角公式。

$\sin (2 x)$

解题步骤 4.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 5

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$e^{u_{2}} + C$

解题步骤 6

使用 $\sin^{2} (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{\sin^{2} (x)} + C$

解题步骤 7

答案是函数 $f (x) = \sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $e^{\sin^{2} (x)} + C$

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