微积分学示例

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{3}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.3

使用极限幂法则把 $\cos^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{2 {(lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x))}^{2} + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.5

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + 3 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.6

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + 3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.7

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{π}{3}$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + 3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.8

将 $\frac{π}{3}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.8.1

将 $\frac{π}{3}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.8.2

将 $\frac{π}{3}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 \cos (\frac{π}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.9

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.9.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.9.1.1

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2 {(\frac{1}{2})}^{2} + 3 \cos (\frac{π}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.9.1.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{2 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 3 \cos (\frac{π}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.9.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.9.1.3.1

从 $2^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \frac{1^{2}}{2 \cdot 2} + 3 \cos (\frac{π}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.9.1.3.2

约去公因数。

$\frac{2 \frac{1^{2}}{2 \cdot 2} + 3 \cos (\frac{π}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.9.1.3.3

重写表达式。

$\frac{\frac{1^{2}}{2} + 3 \cos (\frac{π}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.9.1.4

一的任意次幂都为一。

$\frac{\frac{1}{2} + 3 \cos (\frac{π}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.9.1.5

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\frac{1}{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.9.1.6

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.9.1.7

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.9.2

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 + \frac{1 + 3}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.9.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{- 2 + \frac{4}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.9.4

用 $4$ 除以 $2$ 。

$\frac{- 2 + 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.1.2.9.5

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{3}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 1}$

解题步骤 1.1.3.1.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 1}$

解题步骤 1.1.3.1.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{0}{2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 1}$

解题步骤 1.1.3.1.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{π}{3}$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $\frac{π}{3}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{2 \cos (\frac{π}{3}) - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{0}{2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.3.1.2.1

约去公因数。

$\frac{0}{2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2.2

重写表达式。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 2}{2 \cos (x) - 1} = lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 2]}{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 1]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 2]}{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 1]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $2 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 1]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \cos^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 1]}$

解题步骤 1.3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 1]}$

解题步骤 1.3.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 1]}$

解题步骤 1.3.3.2.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 1]}$

解题步骤 1.3.3.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 1]}$

解题步骤 1.3.3.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 1]}$

解题步骤 1.3.3.5

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 1]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (x) \sin (x) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 1]}$

解题步骤 1.3.4.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 1]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 1]}$

解题步骤 1.3.5

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x) + 0}{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 1]}$

解题步骤 1.3.6

将 $- 4 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 1]}$

解题步骤 1.3.7

根据加法法则， $2 \cos (x) - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 1.3.8

计算 $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.8.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)}{2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 1.3.8.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)}{2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 1.3.8.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)}{- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 1.3.9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)}{- 2 \sin (x) + 0}$

解题步骤 1.3.10

将 $- 2 \sin (x)$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)}{- 2 \sin (x)}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $\frac{1}{- 2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{3}$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} - 4 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{3}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- lim_{x \to \frac{π}{3}} 4 \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)}$

解题步骤 2.4

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- 4 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)}$

解题步骤 2.5

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{3}$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- 4 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)}$

解题步骤 2.6

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- 4 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)}$

解题步骤 2.7

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- 4 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)}$

解题步骤 2.8

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- 4 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - 3 lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)}$

解题步骤 2.9

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- 4 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - 3 \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)}$

解题步骤 2.10

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- 4 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - 3 \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

解题步骤 3

将 $\frac{π}{3}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{π}{3}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- 4 \cos (\frac{π}{3}) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - 3 \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{π}{3}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- 4 \cos (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{π}{3}) - 3 \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

解题步骤 3.3

将 $\frac{π}{3}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- 4 \cos (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{π}{3}) - 3 \sin (\frac{π}{3})}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

解题步骤 3.4

将 $\frac{π}{3}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- 4 \cos (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{π}{3}) - 3 \sin (\frac{π}{3})}{\sin (\frac{π}{3})}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 \cos (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{π}{3}) - 3 \sin (\frac{π}{3})}{\sin (\frac{π}{3})}$

解题步骤 4.2

化简分子。

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解题步骤 4.2.1

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 (\frac{1}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{3}) - 3 \sin (\frac{π}{3})}{\sin (\frac{π}{3})}$

解题步骤 4.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 2) \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{π}{3}) - 3 \sin (\frac{π}{3})}{\sin (\frac{π}{3})}$

解题步骤 4.2.2.2

约去公因数。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 2 \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{π}{3}) - 3 \sin (\frac{π}{3})}{\sin (\frac{π}{3})}$

解题步骤 4.2.2.3

重写表达式。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 \cdot \sin (\frac{π}{3}) - 3 \sin (\frac{π}{3})}{\sin (\frac{π}{3})}$

解题步骤 4.2.3

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \sin (\frac{π}{3})}{\sin (\frac{π}{3})}$

解题步骤 4.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \sin (\frac{π}{3})}{\sin (\frac{π}{3})}$

解题步骤 4.2.4.2

约去公因数。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \sin (\frac{π}{3})}{\sin (\frac{π}{3})}$

解题步骤 4.2.4.3

重写表达式。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot \sqrt{3} - 3 \sin (\frac{π}{3})}{\sin (\frac{π}{3})}$

解题步骤 4.2.5

将 $- 1 \sqrt{3}$ 重写为 $- \sqrt{3}$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- \sqrt{3} - 3 \sin (\frac{π}{3})}{\sin (\frac{π}{3})}$

解题步骤 4.2.6

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- \sqrt{3} - 3 \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin (\frac{π}{3})}$

解题步骤 4.2.7

组合 $- 3$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- \sqrt{3} + \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}}{\sin (\frac{π}{3})}$

解题步骤 4.2.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- \sqrt{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2}}{\sin (\frac{π}{3})}$

解题步骤 4.2.9

要将 $- \sqrt{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 \sqrt{3}}{2}}{\sin (\frac{π}{3})}$

解题步骤 4.2.10

组合 $- \sqrt{3}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{3 \sqrt{3}}{2}}{\sin (\frac{π}{3})}$

解题步骤 4.2.11

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{- \sqrt{3} \cdot 2 - 3 \sqrt{3}}{2}}{\sin (\frac{π}{3})}$

解题步骤 4.2.12

以因式分解的形式重写 $\frac{- \sqrt{3} \cdot 2 - 3 \sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 4.2.12.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{- 2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{2}}{\sin (\frac{π}{3})}$

解题步骤 4.2.12.2

从 $- 2 \sqrt{3}$ 中减去 $3 \sqrt{3}$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{- 5 \sqrt{3}}{2}}{\sin (\frac{π}{3})}$

解题步骤 4.2.13

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{5 \sqrt{3}}{2}}{\sin (\frac{π}{3})}$

解题步骤 4.3

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{5 \sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

解题步骤 4.4

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{1}{2} (- \frac{5 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}})$

解题步骤 4.5

约去 $\sqrt{3}$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.1

将 $- \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$- \frac{1}{2} (\frac{- 5 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}})$

解题步骤 4.5.2

从 $- 5 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $\sqrt{3}$ 。

$- \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3} \cdot - 5}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}})$

解题步骤 4.5.3

约去公因数。

$- \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3} \cdot - 5}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}})$

解题步骤 4.5.4

重写表达式。

$- \frac{1}{2} (\frac{- 5}{2} \cdot 2)$

解题步骤 4.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.1

约去公因数。

$- \frac{1}{2} (\frac{- 5}{2} \cdot 2)$

解题步骤 4.6.2

重写表达式。

$- \frac{1}{2} \cdot - 5$

解题步骤 4.7

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot - 5$ 。

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解题步骤 4.7.1

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$5 (\frac{1}{2})$

解题步骤 4.7.2

组合 $5$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{5}{2}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{5}{2}$

小数形式：

$2.5$

微积分学 示例

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