微积分学示例

$e^{- {(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = - {(t - 3)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- {(t - 3)}^{2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- {(t - 3)}^{2}]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- {(t - 3)}^{2}]$

解题步骤 1.3

使用 $- {(t - 3)}^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{- {(t - 3)}^{2}} \frac{d}{d t} [- {(t - 3)}^{2}]$

解题步骤 2

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- {(t - 3)}^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [{(t - 3)}^{2}]$ 。

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- \frac{d}{d t} [{(t - 3)}^{2}])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = t - 3$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $t - 3$ 。

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [t - 3]))$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- (2 u_{2} \frac{d}{d t} [t - 3]))$

解题步骤 3.3

使用 $t - 3$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- (2 (t - 3) \frac{d}{d t} [t - 3]))$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 ((t - 3) \frac{d}{d t} [t - 3]))$

解题步骤 4.2

根据加法法则， $t - 3$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ 。

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]))$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3) (1 + \frac{d}{d t} [- 3]))$

解题步骤 4.4

因为 $- 3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3) (1 + 0))$

解题步骤 4.5

化简表达式。

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解题步骤 4.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3) \cdot 1)$

解题步骤 4.5.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3))$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 t - 2 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2

将 $- 2$ 乘以 $- 3$ 。

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 t + 6)$

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