微积分学示例

$f (t) = t^{- 3}$ ;, $(\frac{1}{2}, 8)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $t = \frac{1}{2}$ 和 $y = 8$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = - 3$ 。

$- 3 t^{- 4}$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 3 \frac{1}{t^{4}}$

解题步骤 1.2.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{t^{4}}$ 。

$\frac{- 3}{t^{4}}$

解题步骤 1.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{t^{4}}$

解题步骤 1.3

计算在 $t = \frac{1}{2}$ 处的导数。

$- \frac{3}{{(\frac{1}{2})}^{4}}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

化简分母。

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解题步骤 1.4.1.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$- \frac{3}{\frac{1^{4}}{2^{4}}}$

解题步骤 1.4.1.2

一的任意次幂都为一。

$- \frac{3}{\frac{1}{2^{4}}}$

解题步骤 1.4.1.3

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$- \frac{3}{\frac{1}{16}}$

解题步骤 1.4.2

将分子乘以分母的倒数。

$- (3 \cdot 16)$

解题步骤 1.4.3

乘以 $- (3 \cdot 16)$ 。

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解题步骤 1.4.3.1

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$- 1 \cdot 48$

解题步骤 1.4.3.2

将 $- 1$ 乘以 $48$ 。

$- 48$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $- 48$ 和给定点 $(\frac{1}{2}, 8)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (8) = - 48 \cdot (x - (\frac{1}{2}))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 8 = - 48 \cdot (x - \frac{1}{2})$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $- 48 \cdot (x - \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 8 = 0 + 0 - 48 \cdot (x - \frac{1}{2})$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 8 = - 48 \cdot (x - \frac{1}{2})$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 8 = - 48 x - 48 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 2.3.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.4.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$y - 8 = - 48 x - 48 (\frac{- 1}{2})$

解题步骤 2.3.1.4.2

从 $- 48$ 中分解出因数 $2$ 。

$y - 8 = - 48 x + 2 (- 24) \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.3.1.4.3

约去公因数。

$y - 8 = - 48 x + 2 \cdot - 24 \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.3.1.4.4

重写表达式。

$y - 8 = - 48 x - 24 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.5

将 $- 24$ 乘以 $- 1$ 。

$y - 8 = - 48 x + 24$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $8$ 。

$y = - 48 x + 24 + 8$

解题步骤 2.3.2.2

将 $24$ 和 $8$ 相加。

$y = - 48 x + 32$

解题步骤 3

微积分学 示例

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