微积分学示例

$\int_{2}^{4} (\frac{1}{2} x^{3} - 3 x + 2) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{3} - 3 x + 2 d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{3} d x + \int_{2}^{4} - 3 x d x + \int_{2}^{4} 2 d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{2}^{4} x^{3} d x + \int_{2}^{4} - 3 x d x + \int_{2}^{4} 2 d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} x^{4}]_{2}^{4} + \int_{2}^{4} - 3 x d x + \int_{2}^{4} 2 d x$

解题步骤 5

由于 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} x^{4}]_{2}^{4} - 3 \int_{2}^{4} x d x + \int_{2}^{4} 2 d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} x^{4}]_{2}^{4} - 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} 2 d x$

解题步骤 7

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} x^{4}]_{2}^{4} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} 2 d x$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} x^{4}]_{2}^{4} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + 2 x]_{2}^{4}$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $\frac{1}{4} x^{4}$ 在 $4$ 处和在 $2$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{4} \cdot 4^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + 2 x]_{2}^{4}$

解题步骤 9.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $4$ 处和在 $2$ 处的值。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 4^{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 2 x]_{2}^{4}$

解题步骤 9.3

计算 $2 x$ 在 $4$ 处和在 $2$ 处的值。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 4^{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4

化简。

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解题步骤 9.4.1

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 256 - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $256$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{256}{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.3

约去 $256$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.3.1

从 $256$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} (\frac{64}{1} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.3.2.4

用 $64$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (64 - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.4

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (64 - \frac{1}{4} \cdot 16) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.5

将 $16$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (64 - 16 (\frac{1}{4})) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.6

组合 $- 16$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{2} (64 + \frac{- 16}{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.7

约去 $- 16$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.7.1

从 $- 16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{2} (64 + \frac{4 \cdot - 4}{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.7.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.7.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{2} (64 + \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.7.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} (64 + \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.7.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} (64 + \frac{- 4}{1}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.7.2.4

用 $- 4$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (64 - 4) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.8

从 $64$ 中减去 $4$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 60 - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $60$ 。

$\frac{60}{2} - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.10

约去 $60$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.10.1

从 $60$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 30}{2} - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.10.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.10.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 30}{2 (1)} - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.10.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 30}{2 \cdot 1} - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.10.2.3

重写表达式。

$\frac{30}{1} - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.10.2.4

用 $30$ 除以 $1$ 。

$30 - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.11

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$30 - 3 (\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.12

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.12.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$30 - 3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.12.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.12.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$30 - 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.12.2.2

约去公因数。

$30 - 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.12.2.3

重写表达式。

$30 - 3 (\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.12.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$30 - 3 (8 - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.13

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$30 - 3 (8 - \frac{4}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.14

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.14.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$30 - 3 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.14.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.14.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$30 - 3 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.14.2.2

约去公因数。

$30 - 3 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.14.2.3

重写表达式。

$30 - 3 (8 - \frac{2}{1}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.14.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$30 - 3 (8 - 1 \cdot 2) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.15

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$30 - 3 (8 - 2) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.16

从 $8$ 中减去 $2$ 。

$30 - 3 \cdot 6 + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.17

将 $- 3$ 乘以 $6$ 。

$30 - 18 + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.18

从 $30$ 中减去 $18$ 。

$12 + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.19

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$12 + 8 - 2 \cdot 2$

解题步骤 9.4.20

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$12 + 8 - 4$

解题步骤 9.4.21

从 $8$ 中减去 $4$ 。

$12 + 4$

解题步骤 9.4.22

将 $12$ 和 $4$ 相加。

$16$

解题步骤 10

微积分学 示例

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