微积分学示例

$\int \frac{1}{3 + 4 x^{2}} (8 x) d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

组合 $8$ 和 $\frac{1}{3 + 4 x^{2}}$ 。

$\int \frac{8}{3 + 4 x^{2}} \cdot x d x$

解题步骤 1.2

组合 $\frac{8}{3 + 4 x^{2}}$ 和 $x$ 。

$\int \frac{8 x}{3 + 4 x^{2}} d x$

解题步骤 2

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$8 \int \frac{x}{3 + 4 x^{2}} d x$

解题步骤 3

使 $u = 3 + 4 x^{2}$ 。然后使 $d u = 8 x d x$ ，以便 $\frac{1}{8} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = 3 + 4 x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $3 + 4 x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 + 4 x^{2}]$

解题步骤 3.1.2

求微分。

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解题步骤 3.1.2.1

根据加法法则， $3 + 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

解题步骤 3.1.2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

解题步骤 3.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 4 (2 x)$

解题步骤 3.1.3.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$0 + 8 x$

解题步骤 3.1.4

将 $0$ 和 $8 x$ 相加。

$8 x$

解题步骤 3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$8 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{8}$ 。

$8 \int \frac{1}{u \cdot 8} d u$

解题步骤 4.2

将 $8$ 移到 $u$ 的左侧。

$8 \int \frac{1}{8 u} d u$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{8}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{8}$ 移到积分外。

$8 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{8}$ 和 $8$ 。

$\frac{8}{8} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 6.2

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

约去公因数。

$\frac{8}{8} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 6.2.2

重写表达式。

$1 \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 6.3

将 $\int \frac{1}{u} d u$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 7

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |) + C$

解题步骤 8

使用 $3 + 4 x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| 3 + 4 x^{2} |) + C$

微积分学 示例

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