微积分学示例

$x (t) = t^{2} - 4 t$ 和 $y (t) = 2 t^{3} - 6 t$

解题步骤 1

建立 $x (t)$ 的参数方程以求解 $t$ 方程。

$x = t^{2} - 4 t$

解题步骤 2

将方程重写为 $t^{2} - 4 t = x$ 。

$t^{2} - 4 t = x$

解题步骤 3

从等式两边同时减去 $x$ 。

$t^{2} - 4 t - x = 0$

解题步骤 4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5

将 $a = 1$ 、 $b = - 4$ 和 $c = - x$ 的值代入二次公式中并求解 $t$ 。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

从 ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ 中分解出因数 $- 4$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

从 ${(- 4)}^{2}$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.1.2

从 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.1.3

从 $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.3

将 $- 4 (- 4 - x)$ 重写为 $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ 。

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解题步骤 6.1.3.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.3.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.3.3

添加圆括号。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.4

从根式下提出各项。

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

解题步骤 6.3

化简 $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ 。

$t = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

解题步骤 7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

从 ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ 中分解出因数 $- 4$ 。

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解题步骤 7.1.1.1

从 ${(- 4)}^{2}$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.1.2

从 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.1.3

从 $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.3

将 $- 4 (- 4 - x)$ 重写为 $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ 。

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解题步骤 7.1.3.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.3.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.3.3

添加圆括号。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.4

从根式下提出各项。

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

解题步骤 7.3

化简 $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ 。

$t = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

解题步骤 7.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$t = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

解题步骤 8

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 8.1

化简分子。

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解题步骤 8.1.1

从 ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ 中分解出因数 $- 4$ 。

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解题步骤 8.1.1.1

从 ${(- 4)}^{2}$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.1.1.2

从 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.1.1.3

从 $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.1.3

将 $- 4 (- 4 - x)$ 重写为 $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ 。

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解题步骤 8.1.3.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.1.3.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.1.3.3

添加圆括号。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.1.4

从根式下提出各项。

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

解题步骤 8.3

化简 $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ 。

$t = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

解题步骤 8.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$t = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

解题步骤 9

最终答案为两个解的组合。

$t = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

$t = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

解题步骤 10

将方程中的 $t$ 替换为 $y$ ，以得出 $x$ 形式的方程。

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} - 6 (2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$

解题步骤 11

化简 $2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} - 6 (2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$ 。

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解题步骤 11.1

化简每一项。

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解题步骤 11.1.1

将 $- 6$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 6 (2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}), - 6 (2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}))$

解题步骤 11.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 11.1.2.1

运用分配律。

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 6 \cdot 2 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 6 (2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}))$

解题步骤 11.1.2.2

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 6 (2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}))$

解题步骤 11.1.2.3

运用分配律。

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 6 \cdot 2 - 6 (- \sqrt{- 1 (- 4 - x)}))$

解题步骤 11.1.2.4

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 12 - 6 (- \sqrt{- 1 (- 4 - x)}))$

解题步骤 11.1.2.5

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 12 + 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$

解题步骤 11.2

通过交换进行化简。

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解题步骤 11.2.1

将 $- 4$ 和 $- x$ 重新排序。

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- x - 4)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 12 + 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$

解题步骤 11.2.2

将 $- 4$ 和 $- x$ 重新排序。

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- x - 4)}, 2 - \sqrt{- 1 (- x - 4)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 12 + 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$

解题步骤 11.2.3

将 $- 4$ 和 $- x$ 重新排序。

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- x - 4)}, 2 - \sqrt{- 1 (- x - 4)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- x - 4)}, - 12 + 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$

解题步骤 11.2.4

将 $- 4$ 和 $- x$ 重新排序。

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- x - 4)}, 2 - \sqrt{- 1 (- x - 4)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- x - 4)}, - 12 + 6 \sqrt{- 1 (- x - 4)})$

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