微积分学示例

$f (x) = x \cdot e^{x}$ , $[0, 1]$

解题步骤 1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} x \cdot e^{x} d x)$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{x}$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x)$

解题步骤 6

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $x e^{x}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} ((1 e) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

解题步骤 7.2

计算 $e^{x}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} ((1 e) + 0 e^{0} - ((e) - e^{0}))$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

化简。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 e + 0 e^{0} - ((e) - e^{0}))$

解题步骤 7.3.2

将 $e$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e + 0 e^{0} - ((e) - e^{0}))$

解题步骤 7.3.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e + 0 \cdot 1 - ((e) - e^{0}))$

解题步骤 7.3.4

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e + 0 - ((e) - e^{0}))$

解题步骤 7.3.5

将 $e$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - ((e) - e^{0}))$

解题步骤 7.3.6

化简。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - (e - e^{0}))$

解题步骤 7.3.7

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - (e - 1 \cdot 1))$

解题步骤 7.3.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - (e - 1))$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简每一项。

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解题步骤 8.1.1

运用分配律。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - e + 1)$

解题步骤 8.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - e + 1)$

解题步骤 8.2

从 $e$ 中减去 $e$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (0 + 1)$

解题步骤 8.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1)$

解题步骤 9

化简分母。

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解题步骤 9.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot 1$

解题步骤 9.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 1$

解题步骤 10

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 10.1

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 10.1.1

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 1$

解题步骤 10.1.2

重写表达式。

$A (x) = 1 \cdot 1$

解题步骤 10.2

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = 1$

解题步骤 11

微积分学 示例

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