微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{4} x^{- 3} - \frac{2}{3} - \frac{2}{3} x^{6} + \frac{1}{2} x^{4}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\frac{1}{4} x^{- 3} - \frac{2}{3} - \frac{2}{3} x^{6} + \frac{1}{2} x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{4} x^{- 3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ 。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 3$ 。

$\frac{1}{4} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

解题步骤 1.2.3

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{- 3}{4} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

解题步骤 1.2.4

组合 $\frac{- 3}{4}$ 和 $x^{- 4}$ 。

$\frac{- 3 x^{- 4}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

解题步骤 1.2.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 4}$ 移动到分母。

$\frac{- 3}{4 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

解题步骤 1.2.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

解题步骤 1.3

因为 $- \frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{2}{3}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $- \frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{2}{3} x^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 。

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - \frac{2}{3} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

解题步骤 1.4.3

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 6 (\frac{2}{3}) x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

解题步骤 1.4.4

组合 $- 6$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{- 6 \cdot 2}{3} x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

解题步骤 1.4.5

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{- 12}{3} x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

解题步骤 1.4.6

组合 $\frac{- 12}{3}$ 和 $x^{5}$ 。

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{- 12 x^{5}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

解题步骤 1.4.7

约去 $- 12$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.7.1

从 $- 12 x^{5}$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{3 (- 4 x^{5})}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

解题步骤 1.4.7.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.7.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{3 (- 4 x^{5})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

解题步骤 1.4.7.2.2

约去公因数。

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{3 (- 4 x^{5})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

解题步骤 1.4.7.2.3

重写表达式。

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{- 4 x^{5}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

解题步骤 1.4.7.2.4

用 $- 4 x^{5}$ 除以 $1$ 。

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

解题步骤 1.5

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.5.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2} x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{1}{2} (4 x^{3})$

解题步骤 1.5.3

组合 $4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{4}{2} x^{3}$

解题步骤 1.5.4

组合 $\frac{4}{2}$ 和 $x^{3}$ 。

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{4 x^{3}}{2}$

解题步骤 1.5.5

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.5.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{2 (2 x^{3})}{2}$

解题步骤 1.5.5.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.5.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)}$

解题步骤 1.5.5.2.2

约去公因数。

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.5.2.3

重写表达式。

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{2 x^{3}}{1}$

解题步骤 1.5.5.2.4

用 $2 x^{3}$ 除以 $1$ 。

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + 2 x^{3}$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

将 $- \frac{3}{4 x^{4}}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{3}{4 x^{4}} - 4 x^{5} + 2 x^{3}$

解题步骤 1.6.2

重新排序项。

$f' (x) = - 4 x^{5} + 2 x^{3} - \frac{3}{4 x^{4}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 4 x^{5} + 2 x^{3} - \frac{3}{4 x^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{5}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$- 4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

解题步骤 2.2.3

将 $5$ 乘以 $- 4$ 。

$- 20 x^{4} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- 20 x^{4} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 20 x^{4} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

解题步骤 2.3.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- \frac{3}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{3}{4 x^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ 。

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 2.4.2

将 $\frac{1}{x^{4}}$ 重写为 ${(x^{4})}^{- 1}$ 。

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

解题步骤 2.4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{4}$ 。

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解题步骤 2.4.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{4}$ 。

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 2.4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 2.4.3.3

使用 $x^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 2.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

解题步骤 2.4.5

将 ${(x^{4})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.4.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

解题步骤 2.4.5.2

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

解题步骤 2.4.6

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

解题步骤 2.4.7

通过指数相加将 $x^{- 8}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.4.7.1

移动 $x^{3}$ 。

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

解题步骤 2.4.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- 4 x^{3 - 8})$

解题步骤 2.4.7.3

从 $3$ 中减去 $8$ 。

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- 4 x^{- 5})$

解题步骤 2.4.8

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + 4 (\frac{3}{4}) x^{- 5}$

解题步骤 2.4.9

组合 $4$ 和 $\frac{3}{4}$ 。

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{4 \cdot 3}{4} x^{- 5}$

解题步骤 2.4.10

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{12}{4} x^{- 5}$

解题步骤 2.4.11

组合 $\frac{12}{4}$ 和 $x^{- 5}$ 。

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{12 x^{- 5}}{4}$

解题步骤 2.4.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 5}$ 移动到分母。

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{12}{4 x^{5}}$

解题步骤 2.4.13

约去 $12$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.13.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{4 \cdot 3}{4 x^{5}}$

解题步骤 2.4.13.2

约去公因数。

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解题步骤 2.4.13.2.1

从 $4 x^{5}$ 中分解出因数 $4$ 。

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{4 \cdot 3}{4 (x^{5})}$

解题步骤 2.4.13.2.2

约去公因数。

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{4 \cdot 3}{4 x^{5}}$

解题步骤 2.4.13.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = - 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{3}{x^{5}}$

解题步骤 3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{3}{x^{5}}$ 。

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{3}{x^{5}}$

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