微积分学示例

$y = x^{3} - 15 x$ , $y = x$

解题步骤 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

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解题步骤 1.1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$x^{3} - 15 x = x$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 的 $x^{3} - 15 x = x$ 。

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解题步骤 1.2.1

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 1.2.1.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$x^{3} - 15 x - x = 0$

解题步骤 1.2.1.2

从 $- 15 x$ 中减去 $x$ 。

$x^{3} - 16 x = 0$

解题步骤 1.2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $x^{3} - 16 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.2.2.1.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{2} - 16 x = 0$

解题步骤 1.2.2.1.2

从 $- 16 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 16 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.3

从 $x \cdot x^{2} + x \cdot - 16$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{2} - 16) = 0$

解题步骤 1.2.2.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

解题步骤 1.2.2.3

因数。

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解题步骤 1.2.2.3.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 4$ 。

$x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

解题步骤 1.2.2.3.2

去掉多余的括号。

$x (x + 4) (x - 4) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0 + y = x$

解题步骤 1.2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.5

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 1.2.6

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 1.2.6.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 1.2.7

最终解为使 $x (x + 4) (x - 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 4, 4$

解题步骤 1.3

当 $x = 0$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.3.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$y = 0$

解题步骤 1.3.2

去掉圆括号。

$y = 0$

解题步骤 1.4

当 $x = - 4$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.4.1

代入 $- 4$ 替换 $x$ 。

$y = - 4$

解题步骤 1.4.2

去掉圆括号。

$y = - 4$

解题步骤 1.5

当 $x = 4$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.5.1

代入 $4$ 替换 $x$ 。

$y = 4$

解题步骤 1.5.2

去掉圆括号。

$y = 4$

解题步骤 1.6

方程组的解是一组完整的有序对，并且它们都是有效解。

$(0, 0)$

$(- 4, - 4)$

$(4, 4)$

$(0, 0)$

$(- 4, - 4)$

$(4, 4)$

解题步骤 2

两条曲线所围成区域的面积为每一个区域上方曲线的积分减去下方曲线的积分。各区域由曲线的交点确定。可以通过代数方法或图像法来计算。

$A r e a = \int_{- 4}^{0} x^{3} - 15 x d x - \int_{- 4}^{0} x d x$

解题步骤 3

用积分求 $- 4$ 和 $0$ 之间的面积。

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解题步骤 3.1

将积分合并为一个单积分。

$\int_{- 4}^{0} x^{3} - 15 x - (x) d x$

解题步骤 3.2

从 $- 15 x$ 中减去 $x$ 。

$\int_{- 4}^{0} x^{3} - 16 x d x$

解题步骤 3.3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 4}^{0} x^{3} d x + \int_{- 4}^{0} - 16 x d x$

解题步骤 3.4

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} + \int_{- 4}^{0} - 16 x d x$

解题步骤 3.5

由于 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 16$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} - 16 \int_{- 4}^{0} x d x$

解题步骤 3.6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} - 16 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{0})$

解题步骤 3.7

化简答案。

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解题步骤 3.7.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0})$

解题步骤 3.7.2

代入并化简。

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解题步骤 3.7.2.1

计算 $\frac{1}{4} x^{4}$ 在 $0$ 处和在 $- 4$ 处的值。

$(\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0})$

解题步骤 3.7.2.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $0$ 处和在 $- 4$ 处的值。

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

解题步骤 3.7.2.3

化简。

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解题步骤 3.7.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

解题步骤 3.7.2.3.2

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $0$ 。

$0 - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

解题步骤 3.7.2.3.3

对 $- 4$ 进行 $4$ 次方运算。

$0 - \frac{1}{4} \cdot 256 - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

解题步骤 3.7.2.3.4

将 $256$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - 256 (\frac{1}{4}) - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

解题步骤 3.7.2.3.5

组合 $- 256$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$0 + \frac{- 256}{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

解题步骤 3.7.2.3.6

约去 $- 256$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.2.3.6.1

从 $- 256$ 中分解出因数 $4$ 。

$0 + \frac{4 \cdot - 64}{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

解题步骤 3.7.2.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 3.7.2.3.6.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$0 + \frac{4 \cdot - 64}{4 (1)} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

解题步骤 3.7.2.3.6.2.2

约去公因数。

$0 + \frac{4 \cdot - 64}{4 \cdot 1} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

解题步骤 3.7.2.3.6.2.3

重写表达式。

$0 + \frac{- 64}{1} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

解题步骤 3.7.2.3.6.2.4

用 $- 64$ 除以 $1$ 。

$0 - 64 - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

解题步骤 3.7.2.3.7

从 $0$ 中减去 $64$ 。

$- 64 - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

解题步骤 3.7.2.3.8

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 64 - 16 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

解题步骤 3.7.2.3.9

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.2.3.9.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 64 - 16 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

解题步骤 3.7.2.3.9.2

约去公因数。

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解题步骤 3.7.2.3.9.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 64 - 16 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

解题步骤 3.7.2.3.9.2.2

约去公因数。

$- 64 - 16 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

解题步骤 3.7.2.3.9.2.3

重写表达式。

$- 64 - 16 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

解题步骤 3.7.2.3.9.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- 64 - 16 (0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

解题步骤 3.7.2.3.10

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 64 - 16 (0 - \frac{16}{2})$

解题步骤 3.7.2.3.11

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.2.3.11.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 64 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2})$

解题步骤 3.7.2.3.11.2

约去公因数。

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解题步骤 3.7.2.3.11.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 64 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

解题步骤 3.7.2.3.11.2.2

约去公因数。

$- 64 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

解题步骤 3.7.2.3.11.2.3

重写表达式。

$- 64 - 16 (0 - \frac{8}{1})$

解题步骤 3.7.2.3.11.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$- 64 - 16 (0 - 1 \cdot 8)$

解题步骤 3.7.2.3.12

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$- 64 - 16 (0 - 8)$

解题步骤 3.7.2.3.13

从 $0$ 中减去 $8$ 。

$- 64 - 16 \cdot - 8$

解题步骤 3.7.2.3.14

将 $- 16$ 乘以 $- 8$ 。

$- 64 + 128$

解题步骤 3.7.2.3.15

将 $- 64$ 和 $128$ 相加。

$64$

解题步骤 4

两条曲线所围成区域的面积为每一个区域上方曲线的积分减去下方曲线的积分。各区域由曲线的交点确定。可以通过代数方法或图像法来计算。

$A r e a = \int_{0}^{4} x d x - \int_{0}^{4} x^{3} - 15 x d x$

解题步骤 5

用积分求 $0$ 和 $4$ 之间的面积。

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解题步骤 5.1

将积分合并为一个单积分。

$\int_{0}^{4} x - (x^{3} - 15 x) d x$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

运用分配律。

$x - x^{3} - (- 15 x)$

解题步骤 5.2.2

将 $- 15$ 乘以 $- 1$ 。

$x - x^{3} + 15 x$

$\int_{0}^{4} x - x^{3} + 15 x d x$

解题步骤 5.3

将 $x$ 和 $15 x$ 相加。

$\int_{0}^{4} - x^{3} + 16 x d x$

解题步骤 5.4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{4} - x^{3} d x + \int_{0}^{4} 16 x d x$

解题步骤 5.5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{0}^{4} x^{3} d x + \int_{0}^{4} 16 x d x$

解题步骤 5.6

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 16 x d x$

解题步骤 5.7

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 16 x d x$

解题步骤 5.8

由于 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $16$ 移到积分外。

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 16 \int_{0}^{4} x d x$

解题步骤 5.9

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 16 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4})$

解题步骤 5.10

化简答案。

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解题步骤 5.10.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

解题步骤 5.10.2

代入并化简。

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解题步骤 5.10.2.1

计算 $\frac{x^{4}}{4}$ 在 $4$ 处和在 $0$ 处的值。

$- ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

解题步骤 5.10.2.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $4$ 处和在 $0$ 处的值。

$- (\frac{4^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 5.10.2.3

化简。

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解题步骤 5.10.2.3.1

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$- (\frac{256}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 5.10.2.3.2

约去 $256$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.10.2.3.2.1

从 $256$ 中分解出因数 $4$ 。

$- (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 5.10.2.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.10.2.3.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 5.10.2.3.2.2.2

约去公因数。

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 5.10.2.3.2.2.3

重写表达式。

$- (\frac{64}{1} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 5.10.2.3.2.2.4

用 $64$ 除以 $1$ 。

$- (64 - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 5.10.2.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- (64 - \frac{0}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 5.10.2.3.4

约去 $0$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.10.2.3.4.1

从 $0$ 中分解出因数 $4$ 。

$- (64 - \frac{4 (0)}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 5.10.2.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.10.2.3.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$- (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 5.10.2.3.4.2.2

约去公因数。

$- (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 5.10.2.3.4.2.3

重写表达式。

$- (64 - \frac{0}{1}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 5.10.2.3.4.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- (64 - 0) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 5.10.2.3.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- (64 + 0) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 5.10.2.3.6

将 $64$ 和 $0$ 相加。

$- 1 \cdot 64 + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 5.10.2.3.7

将 $- 1$ 乘以 $64$ 。

$- 64 + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 5.10.2.3.8

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 64 + 16 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 5.10.2.3.9

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.10.2.3.9.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 64 + 16 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 5.10.2.3.9.2

约去公因数。

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解题步骤 5.10.2.3.9.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 64 + 16 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 5.10.2.3.9.2.2

约去公因数。

$- 64 + 16 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 5.10.2.3.9.2.3

重写表达式。

$- 64 + 16 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 5.10.2.3.9.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$- 64 + 16 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 5.10.2.3.10

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 64 + 16 (8 - \frac{0}{2})$

解题步骤 5.10.2.3.11

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.10.2.3.11.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 64 + 16 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

解题步骤 5.10.2.3.11.2

约去公因数。

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解题步骤 5.10.2.3.11.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 64 + 16 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

解题步骤 5.10.2.3.11.2.2

约去公因数。

$- 64 + 16 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

解题步骤 5.10.2.3.11.2.3

重写表达式。

$- 64 + 16 (8 - \frac{0}{1})$

解题步骤 5.10.2.3.11.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- 64 + 16 (8 - 0)$

解题步骤 5.10.2.3.12

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- 64 + 16 (8 + 0)$

解题步骤 5.10.2.3.13

将 $8$ 和 $0$ 相加。

$- 64 + 16 \cdot 8$

解题步骤 5.10.2.3.14

将 $16$ 乘以 $8$ 。

$- 64 + 128$

解题步骤 5.10.2.3.15

将 $- 64$ 和 $128$ 相加。

$64$

解题步骤 6

将 $64$ 和 $64$ 相加。

$128$

解题步骤 7

微积分学 示例

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