微积分学示例

$y = - \frac{3}{2} x^{3} + \frac{1}{6} x^{4} + \frac{1}{3} x^{- 2} + \frac{1}{8} x^{2}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $- \frac{3}{2} x^{3} + \frac{1}{6} x^{4} + \frac{1}{3} x^{- 2} + \frac{1}{8} x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- \frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{3}{2} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- \frac{3}{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

解题步骤 1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 (\frac{3}{2}) x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

解题步骤 1.2.4

组合 $- 3$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{- 3 \cdot 3}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

解题步骤 1.2.5

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 9}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

解题步骤 1.2.6

组合 $\frac{- 9}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{- 9 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

解题步骤 1.2.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $\frac{1}{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{6} x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{1}{6} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

解题步骤 1.3.3

组合 $4$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{4}{6} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

解题步骤 1.3.4

组合 $\frac{4}{6}$ 和 $x^{3}$ 。

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{4 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

解题步骤 1.3.5

约去 $4$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.5.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 (2 x^{3})}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

解题步骤 1.3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.5.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 (3)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

解题步骤 1.3.5.2.2

约去公因数。

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

解题步骤 1.3.5.2.3

重写表达式。

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{3} x^{- 2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ 。

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

解题步骤 1.4.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{- 2}{3} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

解题步骤 1.4.4

组合 $\frac{- 2}{3}$ 和 $x^{- 3}$ 。

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{- 2 x^{- 3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

解题步骤 1.4.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 3}$ 移动到分母。

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{- 2}{3 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

解题步骤 1.4.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

解题步骤 1.5

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.5.1

因为 $\frac{1}{8}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{8} x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{8} (2 x)$

解题步骤 1.5.3

组合 $2$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{2}{8} x$

解题步骤 1.5.4

组合 $\frac{2}{8}$ 和 $x$ 。

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{2 x}{8}$

解题步骤 1.5.5

约去 $2$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.5.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{2 (x)}{8}$

解题步骤 1.5.5.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.5.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{2 x}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.5.5.2.2

约去公因数。

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{2 x}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.5.5.2.3

重写表达式。

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{x}{4}$

解题步骤 1.6

重新排序项。

$f' (x) = \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{x}{4} - \frac{2}{3 x^{3}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\frac{2 x^{3}}{3} - \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{x}{4} - \frac{2}{3 x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x^{3}}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

解题步骤 2.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

解题步骤 2.2.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

解题步骤 2.2.5

组合 $\frac{6}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

解题步骤 2.2.6

约去 $6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.6.1

从 $6 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

解题步骤 2.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.6.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

解题步骤 2.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

解题步骤 2.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

解题步骤 2.2.6.2.4

用 $2 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$2 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- \frac{9}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{9 x^{2}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 x^{2} - \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x^{2} - \frac{9}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 x^{2} - 2 (\frac{9}{2}) x + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

解题步骤 2.3.4

组合 $- 2$ 和 $\frac{9}{2}$ 。

$2 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 9}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

解题步骤 2.3.5

将 $- 2$ 乘以 $9$ 。

$2 x^{2} + \frac{- 18}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

解题步骤 2.3.6

组合 $\frac{- 18}{2}$ 和 $x$ 。

$2 x^{2} + \frac{- 18 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

解题步骤 2.3.7

约去 $- 18$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.7.1

从 $- 18 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 x^{2} + \frac{2 (- 9 x)}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

解题步骤 2.3.7.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.7.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 x^{2} + \frac{2 (- 9 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

解题步骤 2.3.7.2.2

约去公因数。

$2 x^{2} + \frac{2 (- 9 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

解题步骤 2.3.7.2.3

重写表达式。

$2 x^{2} + \frac{- 9 x}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

解题步骤 2.3.7.2.4

用 $- 9 x$ 除以 $1$ 。

$2 x^{2} - 9 x + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

解题步骤 2.4.3

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

解题步骤 2.5

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$ 。

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解题步骤 2.5.1

因为 $- \frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{2}{3 x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 。

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

解题步骤 2.5.2

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 重写为 ${(x^{3})}^{- 1}$ 。

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

解题步骤 2.5.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

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解题步骤 2.5.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3}$ 。

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 2.5.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 2.5.3.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 2.5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

解题步骤 2.5.5

将 ${(x^{3})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.5.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

解题步骤 2.5.5.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

解题步骤 2.5.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} (- 3 x^{- 6} x^{2})$

解题步骤 2.5.7

通过指数相加将 $x^{- 6}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.7.1

移动 $x^{2}$ 。

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

解题步骤 2.5.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} (- 3 x^{2 - 6})$

解题步骤 2.5.7.3

从 $2$ 中减去 $6$ 。

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} (- 3 x^{- 4})$

解题步骤 2.5.8

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} + 3 (\frac{2}{3}) x^{- 4}$

解题步骤 2.5.9

组合 $3$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 2}{3} x^{- 4}$

解题步骤 2.5.10

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} + \frac{6}{3} x^{- 4}$

解题步骤 2.5.11

组合 $\frac{6}{3}$ 和 $x^{- 4}$ 。

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} + \frac{6 x^{- 4}}{3}$

解题步骤 2.5.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 4}$ 移动到分母。

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} + \frac{6}{3 x^{4}}$

解题步骤 2.5.13

约去 $6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.13.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{4}}$

解题步骤 2.5.13.2

约去公因数。

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解题步骤 2.5.13.2.1

从 $3 x^{4}$ 中分解出因数 $3$ 。

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{4})}$

解题步骤 2.5.13.2.2

约去公因数。

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{4}}$

解题步骤 2.5.13.2.3

重写表达式。

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} + \frac{2}{x^{4}}$

解题步骤 2.6

重新排序项。

$f'' (x) = 2 x^{2} - 9 x + \frac{2}{x^{4}} + \frac{1}{4}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $2 x^{2} - 9 x + \frac{2}{x^{4}} + \frac{1}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

解题步骤 3.3.3

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$4 x - 9 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{4}}]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{x^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ 。

$4 x - 9 + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

解题步骤 3.4.2

将 $\frac{1}{x^{4}}$ 重写为 ${(x^{4})}^{- 1}$ 。

$4 x - 9 + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

解题步骤 3.4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{4}$ 。

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解题步骤 3.4.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{4}$ 。

$4 x - 9 + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

解题步骤 3.4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$4 x - 9 + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

解题步骤 3.4.3.3

使用 $x^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 x - 9 + 2 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

解题步骤 3.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x - 9 + 2 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

解题步骤 3.4.5

将 ${(x^{4})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 x - 9 + 2 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

解题步骤 3.4.5.2

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$4 x - 9 + 2 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

解题步骤 3.4.6

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$4 x - 9 + 2 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

解题步骤 3.4.7

通过指数相加将 $x^{- 8}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.7.1

移动 $x^{3}$ 。

$4 x - 9 + 2 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

解题步骤 3.4.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 x - 9 + 2 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

解题步骤 3.4.7.3

从 $3$ 中减去 $8$ 。

$4 x - 9 + 2 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

解题步骤 3.4.8

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$4 x - 9 - 8 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

解题步骤 3.5

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{4}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x - 9 - 8 x^{- 5} + 0$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$4 x - 9 - 8 \frac{1}{x^{5}} + 0$

解题步骤 3.6.2

合并项。

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解题步骤 3.6.2.1

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{x^{5}}$ 。

$4 x - 9 + \frac{- 8}{x^{5}} + 0$

解题步骤 3.6.2.2

将负号移到分数的前面。

$4 x - 9 - \frac{8}{x^{5}} + 0$

解题步骤 3.6.2.3

将 $4 x - 9 - \frac{8}{x^{5}}$ 和 $0$ 相加。

$4 x - 9 - \frac{8}{x^{5}}$

解题步骤 3.6.3

重新排序项。

$f''' (x) = 4 x - \frac{8}{x^{5}} - 9$

微积分学 示例

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