微积分学示例

$f (x) = \sin^{2} (x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

重新排序 $2 \sin (x) \cos (x)$ 的因式。

$2 \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 1.3.2

将 $2 \cos (x)$ 和 $\sin (x)$ 重新排序。

$\sin (x) (2 \cos (x))$

解题步骤 1.3.3

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 1.3.4

使用正弦倍角公式。

$\sin (2 x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

解题步骤 2.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

解题步骤 2.1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

解题步骤 2.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

解题步骤 2.2.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2$

解题步骤 2.2.3.2

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$f'' (x) = 2 \cos (2 x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\sin (2 x) = 0$

解题步骤 4

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$2 x = \arcsin (0)$

解题步骤 5

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$2 x = 0$

解题步骤 6

将 $2 x = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将 $2 x = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 6.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 6.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{2}$

解题步骤 6.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$x = 0$

解题步骤 7

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$2 x = π - 0$

解题步骤 8

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$2 x = π + 0$

解题步骤 8.1.2

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$2 x = π$

解题步骤 8.2

将 $2 x = π$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

将 $2 x = π$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

解题步骤 8.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

解题步骤 8.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 9

方程 $2 x = 0$ 的解。

$x = 0, \frac{π}{2}$

解题步骤 10

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$2 \cos (2 (0))$

解题步骤 11

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$2 \cos (0)$

解题步骤 11.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 11.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 12

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 0$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 13

求 $x = 0$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \sin^{2} (0)$

解题步骤 13.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.2.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$f (0) = 0^{2}$

解题步骤 13.2.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0$

解题步骤 13.2.3

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 14

计算在 $x = \frac{π}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$2 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

解题步骤 15

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.1.1

约去公因数。

$2 \cos (2 \frac{π}{2})$

解题步骤 15.1.2

重写表达式。

$2 \cos (π)$

解题步骤 15.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$2 (- \cos (0))$

解题步骤 15.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 15.4

乘以 $2 (- 1 \cdot 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 \cdot - 1$

解题步骤 15.4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2$

解题步骤 16

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{π}{2}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{π}{2}$ 是一个极大值

解题步骤 17

求 $x = \frac{π}{2}$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 17.1

使用表达式中的 $\frac{π}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{2}) = \sin^{2} (\frac{π}{2})$

解题步骤 17.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 17.2.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 1^{2}$

解题步骤 17.2.2

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{π}{2}) = 1$

解题步骤 17.2.3

最终答案为 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 18

这些是 $f (x) = \sin^{2} (x)$ 的局部极值。

$(0, 0)$ 是一个局部最小值

$(\frac{π}{2}, 1)$ 是一个局部最大值

解题步骤 19

微积分学 示例

微积分学示例