微积分学示例

$x^{y} = e^{x - y}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{y}) = \frac{d}{d x} (e^{x - y})$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

利用广义幂法则求导，即 $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ 为 $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ ，其中 $f = x$ 及 $g = y$ 。

$\frac{d}{d x} [x] (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

解题步骤 2.2.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

解题步骤 2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$y x^{y - 1} + y' (x^{y} \ln (x))$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

重新排序项。

$x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$

解题步骤 2.4.2

将 $x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$ 中的因式重新排序。

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x - y$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - y$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

解题步骤 3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

解题步骤 3.1.3

使用 $x - y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $x - y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ 。

$e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

解题步骤 3.2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [y]$ 。

$e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$e^{x - y} (1 - y')$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y' = e^{x - y} (1 - y')$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将 $y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y'$ 中的因式重新排序。

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} (1 - y')$

解题步骤 5.2

化简 $e^{x - y} (1 - y')$ 。

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解题步骤 5.2.1

运用分配律。

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} \cdot 1 + e^{x - y} (- y')$

解题步骤 5.2.2

化简表达式。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $e^{x - y}$ 乘以 $1$ 。

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} + e^{x - y} (- y')$

解题步骤 5.2.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} - e^{x - y} y'$

解题步骤 5.2.2.3

将 $e^{x - y} - e^{x - y} y'$ 中的因式重新排序。

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} - y' e^{x - y}$

解题步骤 5.3

在等式两边都加上 $y' e^{x - y}$ 。

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) + y' e^{x - y} = e^{x - y}$

解题步骤 5.4

从等式两边同时减去 $y x^{y - 1}$ 。

$y' x^{y} \ln (x) + y' e^{x - y} = e^{x - y} - y x^{y - 1}$

解题步骤 5.5

从 $y' x^{y} \ln (x) + y' e^{x - y}$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.5.1

从 $y' x^{y} \ln (x)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x^{y} \ln (x)) + y' (e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$

解题步骤 5.5.2

从 $y' e^{x - y}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x^{y} \ln (x)) + y' (e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$

解题步骤 5.5.3

从 $y' (x^{y} \ln (x)) + y' (e^{x - y})$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$

解题步骤 5.6

将 $y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$ 中的每一项除以 $x^{y} \ln (x) + e^{x - y}$ 并化简。

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解题步骤 5.6.1

将 $y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$ 中的每一项都除以 $x^{y} \ln (x) + e^{x - y}$ 。

$\frac{y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y})}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} = \frac{e^{x - y}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} + \frac{- y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

解题步骤 5.6.2

化简左边。

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解题步骤 5.6.2.1

约去 $x^{y} \ln (x) + e^{x - y}$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y})}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} = \frac{e^{x - y}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} + \frac{- y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

解题步骤 5.6.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{e^{x - y}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} + \frac{- y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

解题步骤 5.6.3

化简右边。

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解题步骤 5.6.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{e^{x - y} - y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x - y} - y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

微积分学 示例

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