微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x^{2} + x}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

解题步骤 1.1.2.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.3.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.3.3

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0^{2} + lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.3.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0^{2} + 0}$

解题步骤 1.1.3.4

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.4.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0 + 0}$

解题步骤 1.1.3.4.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x^{2} + x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

解题步骤 1.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

解题步骤 1.3.3

根据加法法则， $x^{2} + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 x + 1}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

解题步骤 2.2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 2.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 2.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} x + 1}$

解题步骤 3

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\cos (0)}{2 lim_{x \to 0} x + 1}$

解题步骤 3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\cos (0)}{2 \cdot 0 + 1}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 0 + 1}$

解题步骤 4.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{0 + 1}$

解题步骤 4.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{1}$

解题步骤 4.3

用 $1$ 除以 $1$ 。

$1$

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