微积分学示例

$lim_{x \to - \frac{5}{2}} \frac{6 x^{2} + 11 x - 10}{8 x^{2} - 18 x - 5}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $- \frac{5}{2}$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - \frac{5}{2}} 6 x^{2} + 11 x - 10}{lim_{x \to - \frac{5}{2}} 8 x^{2} - 18 x - 5}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $- \frac{5}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - \frac{5}{2}} 6 x^{2} + lim_{x \to - \frac{5}{2}} 11 x - lim_{x \to - \frac{5}{2}} 10}{lim_{x \to - \frac{5}{2}} 8 x^{2} - 18 x - 5}$

解题步骤 3

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{6 lim_{x \to - \frac{5}{2}} x^{2} + lim_{x \to - \frac{5}{2}} 11 x - lim_{x \to - \frac{5}{2}} 10}{lim_{x \to - \frac{5}{2}} 8 x^{2} - 18 x - 5}$

解题步骤 4

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{6 {(lim_{x \to - \frac{5}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to - \frac{5}{2}} 11 x - lim_{x \to - \frac{5}{2}} 10}{lim_{x \to - \frac{5}{2}} 8 x^{2} - 18 x - 5}$

解题步骤 5

因为项 $11$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{6 {(lim_{x \to - \frac{5}{2}} x)}^{2} + 11 lim_{x \to - \frac{5}{2}} x - lim_{x \to - \frac{5}{2}} 10}{lim_{x \to - \frac{5}{2}} 8 x^{2} - 18 x - 5}$

解题步骤 6

计算 $10$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \frac{5}{2}$ 时此极限值为常数。

$\frac{6 {(lim_{x \to - \frac{5}{2}} x)}^{2} + 11 lim_{x \to - \frac{5}{2}} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to - \frac{5}{2}} 8 x^{2} - 18 x - 5}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $- \frac{5}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{6 {(lim_{x \to - \frac{5}{2}} x)}^{2} + 11 lim_{x \to - \frac{5}{2}} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to - \frac{5}{2}} 8 x^{2} - lim_{x \to - \frac{5}{2}} 18 x - lim_{x \to - \frac{5}{2}} 5}$

解题步骤 8

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{6 {(lim_{x \to - \frac{5}{2}} x)}^{2} + 11 lim_{x \to - \frac{5}{2}} x - 1 \cdot 10}{8 lim_{x \to - \frac{5}{2}} x^{2} - lim_{x \to - \frac{5}{2}} 18 x - lim_{x \to - \frac{5}{2}} 5}$

解题步骤 9

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{6 {(lim_{x \to - \frac{5}{2}} x)}^{2} + 11 lim_{x \to - \frac{5}{2}} x - 1 \cdot 10}{8 {(lim_{x \to - \frac{5}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to - \frac{5}{2}} 18 x - lim_{x \to - \frac{5}{2}} 5}$

解题步骤 10

因为项 $18$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{6 {(lim_{x \to - \frac{5}{2}} x)}^{2} + 11 lim_{x \to - \frac{5}{2}} x - 1 \cdot 10}{8 {(lim_{x \to - \frac{5}{2}} x)}^{2} - 18 lim_{x \to - \frac{5}{2}} x - lim_{x \to - \frac{5}{2}} 5}$

解题步骤 11

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \frac{5}{2}$ 时此极限值为常数。

$\frac{6 {(lim_{x \to - \frac{5}{2}} x)}^{2} + 11 lim_{x \to - \frac{5}{2}} x - 1 \cdot 10}{8 {(lim_{x \to - \frac{5}{2}} x)}^{2} - 18 lim_{x \to - \frac{5}{2}} x - 1 \cdot 5}$

解题步骤 12

将 $- \frac{5}{2}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 12.1

将 $- \frac{5}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{6 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 11 lim_{x \to - \frac{5}{2}} x - 1 \cdot 10}{8 {(lim_{x \to - \frac{5}{2}} x)}^{2} - 18 lim_{x \to - \frac{5}{2}} x - 1 \cdot 5}$

解题步骤 12.2

将 $- \frac{5}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{6 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 11 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 10}{8 {(lim_{x \to - \frac{5}{2}} x)}^{2} - 18 lim_{x \to - \frac{5}{2}} x - 1 \cdot 5}$

解题步骤 12.3

将 $- \frac{5}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{6 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 11 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 lim_{x \to - \frac{5}{2}} x - 1 \cdot 5}$

解题步骤 12.4

将 $- \frac{5}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{6 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 11 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13

化简答案。

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解题步骤 13.1

化简分子。

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解题步骤 13.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 13.1.1.1

对 $- \frac{5}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) + 11 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.1.1.2

对 $\frac{5}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{6 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 11 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{6 (1 \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 11 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.1.3

将 $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 11 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.1.4

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{6 \frac{25}{2^{2}} + 11 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.1.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{6 (\frac{25}{4}) + 11 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.1.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.6.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3) \frac{25}{4} + 11 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.1.6.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 3 \frac{25}{2 \cdot 2} + 11 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.1.6.3

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 3 \frac{25}{2 \cdot 2} + 11 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.1.6.4

重写表达式。

$\frac{3 (\frac{25}{2}) + 11 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.1.7

组合 $3$ 和 $\frac{25}{2}$ 。

$\frac{\frac{3 \cdot 25}{2} + 11 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.1.8

将 $3$ 乘以 $25$ 。

$\frac{\frac{75}{2} + 11 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.1.9

乘以 $11 (- \frac{5}{2})$ 。

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解题步骤 13.1.9.1

将 $- 1$ 乘以 $11$ 。

$\frac{\frac{75}{2} - 11 (\frac{5}{2}) - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.1.9.2

组合 $- 11$ 和 $\frac{5}{2}$ 。

$\frac{\frac{75}{2} + \frac{- 11 \cdot 5}{2} - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.1.9.3

将 $- 11$ 乘以 $5$ 。

$\frac{\frac{75}{2} + \frac{- 55}{2} - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.1.10

将负号移到分数的前面。

$\frac{\frac{75}{2} - \frac{55}{2} - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.1.11

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$\frac{\frac{75}{2} - \frac{55}{2} - 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.1.12

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{75 - 55}{2} - 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.1.13

从 $75$ 中减去 $55$ 。

$\frac{\frac{20}{2} - 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.1.14

要将 $- 10$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{20}{2} - 10 \cdot \frac{2}{2}}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.1.15

组合 $- 10$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{20}{2} + \frac{- 10 \cdot 2}{2}}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.1.16

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{20 - 10 \cdot 2}{2}}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.1.17

化简分子。

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解题步骤 13.1.17.1

将 $- 10$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{20 - 20}{2}}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.1.17.2

从 $20$ 中减去 $20$ 。

$\frac{\frac{0}{2}}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.1.18

用 $0$ 除以 $2$ 。

$\frac{0}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.2

化简分母。

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解题步骤 13.2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 13.2.1.1

对 $- \frac{5}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{0}{8 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.2.1.2

对 $\frac{5}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{0}{8 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}}) - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.2.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{8 (1 \frac{5^{2}}{2^{2}}) - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.2.3

将 $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{8 \frac{5^{2}}{2^{2}} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.2.4

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{8 \frac{25}{2^{2}} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.2.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{8 (\frac{25}{4}) - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.2.6

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.6.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{0}{4 (2) \frac{25}{4} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.2.6.2

约去公因数。

$\frac{0}{4 \cdot 2 \frac{25}{4} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.2.6.3

重写表达式。

$\frac{0}{2 \cdot 25 - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.2.7

将 $2$ 乘以 $25$ 。

$\frac{0}{50 - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.2.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.8.1

将 $- \frac{5}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{0}{50 - 18 (\frac{- 5}{2}) - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.2.8.2

从 $- 18$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{0}{50 + 2 (- 9) \frac{- 5}{2} - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.2.8.3

约去公因数。

$\frac{0}{50 + 2 \cdot - 9 \frac{- 5}{2} - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.2.8.4

重写表达式。

$\frac{0}{50 - 9 \cdot - 5 - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.2.9

将 $- 9$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{0}{50 + 45 - 1 \cdot 5}$

解题步骤 13.2.10

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{0}{50 + 45 - 5}$

解题步骤 13.2.11

将 $50$ 和 $45$ 相加。

$\frac{0}{95 - 5}$

解题步骤 13.2.12

从 $95$ 中减去 $5$ 。

$\frac{0}{90}$

解题步骤 13.3

用 $0$ 除以 $90$ 。

$0$

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