微积分学示例

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$

解题步骤 1

将 $\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

解题步骤 4

用 $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1$ 除以 $x^{2} + 2 x + 1$ 。

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解题步骤 4.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

解题步骤 4.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

解题步骤 4.3

将新的商式项乘以除数。

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

解题步骤 4.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} + 2 x^{2} + x$ 中的所有符号

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

解题步骤 4.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

解题步骤 4.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

解题步骤 4.7

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

解题步骤 4.8

将新的商式项乘以除数。

$x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

解题步骤 4.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} + 2 x + 1$ 中的所有符号

$x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

解题步骤 4.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

						$x$	+	$1$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$x$
							+	$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
							-	$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
											-	$2$

解题步骤 4.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int x + 1 - \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x d x + \int d x + \int - \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x + \int - \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int - \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - \int \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

解题步骤 9

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - (2 \int \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x)$

解题步骤 10

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

解题步骤 11

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 11.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 11.1.1

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 11.1.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1}{x^{2} + 2 x + 1^{2}}$

解题步骤 11.1.1.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

解题步骤 11.1.1.3

重写多项式。

$\frac{1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

解题步骤 11.1.1.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 11.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 11.1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

解题步骤 11.1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 ${(x + 1)}^{2}$ 。

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

解题步骤 11.1.5

约去 ${(x + 1)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 11.1.5.1

约去公因数。

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

解题步骤 11.1.5.2

重写表达式。

$1 = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

解题步骤 11.1.6

化简每一项。

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解题步骤 11.1.6.1

约去 ${(x + 1)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 11.1.6.1.1

约去公因数。

$1 = \frac{A {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

解题步骤 11.1.6.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$1 = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

解题步骤 11.1.6.2

约去 ${(x + 1)}^{2}$ 和 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 11.1.6.2.1

从 $(B) {(x + 1)}^{2}$ 中分解出因数 $x + 1$ 。

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 11.1.6.2.2

约去公因数。

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解题步骤 11.1.6.2.2.1

乘以 $1$ 。

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

解题步骤 11.1.6.2.2.2

约去公因数。

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

解题步骤 11.1.6.2.2.3

重写表达式。

$1 = A + \frac{B (x + 1)}{1}$

解题步骤 11.1.6.2.2.4

用 $B (x + 1)$ 除以 $1$ 。

$1 = A + B (x + 1)$

解题步骤 11.1.6.3

运用分配律。

$1 = A + B x + B \cdot 1$

解题步骤 11.1.6.4

将 $B$ 乘以 $1$ 。

$1 = A + B x + B$

解题步骤 11.1.7

将 $A$ 和 $B x$ 重新排序。

$1 = B x + A + B$

解题步骤 11.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 11.2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = B$

解题步骤 11.2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = A + B$

解题步骤 11.2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = B$

$1 = A + B$

$0 = B$

$1 = A + B$

解题步骤 11.3

求解方程组。

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解题步骤 11.3.1

将方程重写为 $B = 0$ 。

$B = 0$

$1 = A + B$

解题步骤 11.3.2

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $0$ 。

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解题步骤 11.3.2.1

使用 $0$ 替换 $1 = A + B$ 中所有出现的 $B$ .

$1 = A + 0$

$B = 0$

解题步骤 11.3.2.2

化简 $1 = A + 0$ 。

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解题步骤 11.3.2.2.1

化简左边。

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解题步骤 11.3.2.2.1.1

去掉圆括号。

$1 = A + 0$

$B = 0$

$1 = A + 0$

$B = 0$

解题步骤 11.3.2.2.2

化简右边。

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解题步骤 11.3.2.2.2.1

将 $A$ 和 $0$ 相加。

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

解题步骤 11.3.3

将方程重写为 $A = 1$ 。

$A = 1$

$B = 0$

解题步骤 11.3.4

求解方程组。

$A = 1 B = 0$

解题步骤 11.3.5

列出所有解。

$A = 1, B = 0$

解题步骤 11.4

将 $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

解题步骤 11.5

化简。

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解题步骤 11.5.1

用 $0$ 除以 $x + 1$ 。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + 0$

解题步骤 11.5.2

去掉表达式中的零。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

解题步骤 12

使 $u = x + 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 12.1

设 $u = x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 12.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 12.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 12.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 12.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 12.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 13

应用指数的基本规则。

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解题步骤 13.1

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

解题步骤 13.2

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 13.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

解题步骤 13.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int u^{- 2} d u$

解题步骤 14

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 (- u^{- 1} + C)$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

化简。

$\frac{1}{2} x^{2} + x - 2 (- u^{- 1}) + C$

解题步骤 15.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + x + 2 u^{- 1} + C$

解题步骤 16

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + x + 2 {(x + 1)}^{- 1} + C$

解题步骤 17

答案是函数 $f (x) = \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + x + 2 {(x + 1)}^{- 1} + C$

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