微积分学示例

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \ln (2 x + 7)}{2 \tan (- 6 - 2 x)}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to - 3} 4 \ln (2 x + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.2.1.1

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 lim_{x \to - 3} \ln (2 x + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

解题步骤 1.2.1.2

将极限移入对数中。

$\frac{4 \ln (lim_{x \to - 3} 2 x + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

解题步骤 1.2.1.3

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{4 \ln (lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

解题步骤 1.2.1.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 \ln (2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

解题步骤 1.2.1.5

计算 $7$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$\frac{4 \ln (2 lim_{x \to - 3} x + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

解题步骤 1.2.2

将 $- 3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4 \ln (2 \cdot - 3 + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

解题步骤 1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{4 \ln (- 6 + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

解题步骤 1.2.3.2

将 $- 6$ 和 $7$ 相加。

$\frac{4 \ln (1)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

解题步骤 1.2.3.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

解题步骤 1.2.3.4

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.3.1.1

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{2 lim_{x \to - 3} \tan (- 6 - 2 x)}$

解题步骤 1.3.1.2

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{0}{2 \tan (lim_{x \to - 3} - 6 - 2 x)}$

解题步骤 1.3.1.3

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{2 \tan (- lim_{x \to - 3} 6 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

解题步骤 1.3.1.4

计算 $6$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{2 \tan (- 1 \cdot 6 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

解题步骤 1.3.1.5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{2 \tan (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 3} x)}$

解题步骤 1.3.2

将 $- 3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{2 \tan (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)}$

解题步骤 1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.3.1.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{0}{2 \tan (- 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)}$

解题步骤 1.3.3.1.2

乘以 $- 1 \cdot 2 \cdot - 3$ 。

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解题步骤 1.3.3.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0}{2 \tan (- 6 - 2 \cdot - 3)}$

解题步骤 1.3.3.1.2.2

将 $- 2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{0}{2 \tan (- 6 + 6)}$

解题步骤 1.3.3.2

将 $- 6$ 和 $6$ 相加。

$\frac{0}{2 \tan (0)}$

解题步骤 1.3.3.3

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{2 \cdot 0}$

解题步骤 1.3.3.4

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.3.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \ln (2 x + 7)}{2 \tan (- 6 - 2 x)} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (2 x + 7)]}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (2 x + 7)]}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

解题步骤 3.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \ln (2 x + 7)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 7)]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 7)]}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 2 x + 7$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x + 7$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

解题步骤 3.3.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x + 7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

解题步骤 3.3.3

使用 $2 x + 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (\frac{1}{2 x + 7} \frac{d}{d x} [2 x + 7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

解题步骤 3.4

组合 $\frac{1}{2 x + 7}$ 和 $4$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} \frac{d}{d x} [2 x + 7]}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

解题步骤 3.5

根据加法法则， $2 x + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

解题步骤 3.6

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

解题步骤 3.8

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} (2 + \frac{d}{d x} [7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

解题步骤 3.9

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

解题步骤 3.10

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} \cdot 2}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

解题步骤 3.11

组合 $\frac{4}{2 x + 7}$ 和 $2$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4 \cdot 2}{2 x + 7}}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

解题步骤 3.12

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

解题步骤 3.13

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \tan (- 6 - 2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\tan (- 6 - 2 x)]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \frac{d}{d x} [\tan (- 6 - 2 x)]}$

解题步骤 3.14

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = - 6 - 2 x$ 。

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解题步骤 3.14.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 6 - 2 x$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [- 6 - 2 x])}$

解题步骤 3.14.2

$\tan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [- 6 - 2 x])}$

解题步骤 3.14.3

使用 $- 6 - 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 (\sec^{2} (- 6 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 6 - 2 x])}$

解题步骤 3.15

去掉圆括号。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \sec^{2} (- 6 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 6 - 2 x]}$

解题步骤 3.16

根据加法法则， $- 6 - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 6] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \sec^{2} (- 6 - 2 x) (\frac{d}{d x} [- 6] + \frac{d}{d x} [- 2 x])}$

解题步骤 3.17

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \sec^{2} (- 6 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])}$

解题步骤 3.18

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 相加。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \sec^{2} (- 6 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

解题步骤 3.19

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \sec^{2} (- 6 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 3.20

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.21

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x) \cdot 1}$

解题步骤 3.22

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to - 3} \frac{8}{2 x + 7} \cdot \frac{1}{- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{8}{2 x + 7}$ 乘以 $\frac{1}{- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{8}{(2 x + 7) (- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x))}$

解题步骤 5.2

约去 $8$ 和 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (2)}{(2 x + 7) (- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x))}$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $(2 x + 7) (- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x))$ 中分解出因数 $4$ 。

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (2)}{4 ((2 x + 7) (- \sec^{2} (- 6 - 2 x)))}$

解题步骤 5.2.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \cdot 2}{4 ((2 x + 7) (- \sec^{2} (- 6 - 2 x)))}$

解题步骤 5.2.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{(2 x + 7) (- \sec^{2} (- 6 - 2 x))}$

解题步骤 6

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to - 3} \frac{1}{(2 x + 7) (- \sec^{2} (- 6 - 2 x))}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$2 \frac{lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} (2 x + 7) \cdot - 1 \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

解题步骤 8

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{1}{lim_{x \to - 3} (2 x + 7) \cdot - 1 \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

解题步骤 9

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 \frac{1}{- lim_{x \to - 3} (2 x + 7) \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

解题步骤 10

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$2 \frac{1}{- lim_{x \to - 3} 2 x + 7 \cdot lim_{x \to - 3} \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

解题步骤 11

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 \frac{1}{- (lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 7) \cdot lim_{x \to - 3} \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

解题步骤 12

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 7) \cdot lim_{x \to - 3} \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

解题步骤 13

计算 $7$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot lim_{x \to - 3} \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

解题步骤 14

使用极限幂法则把 $\sec^{2} (- 6 - 2 x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot {(lim_{x \to - 3} \sec (- 6 - 2 x))}^{2}}$

解题步骤 15

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to - 3} - 6 - 2 x)}$

解题步骤 16

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot \sec^{2} (- lim_{x \to - 3} 6 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

解题步骤 17

计算 $6$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

解题步骤 18

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 3} x)}$

解题步骤 19

将 $- 3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 19.1

将 $- 3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{1}{- (2 \cdot - 3 + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 3} x)}$

解题步骤 19.2

将 $- 3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{1}{- (2 \cdot - 3 + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)}$

解题步骤 20

化简答案。

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解题步骤 20.1

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 20.1.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$2 \frac{- 1 (- 1)}{- (2 \cdot - 3 + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)}$

解题步骤 20.1.2

将负号移到分数的前面。

$2 (- \frac{1}{(2 \cdot - 3 + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)})$

解题步骤 20.2

化简分母。

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解题步骤 20.2.1

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$2 (- \frac{1}{(- 6 + 7) \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)})$

解题步骤 20.2.2

将 $- 6$ 和 $7$ 相加。

$2 (- \frac{1}{1 \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)})$

解题步骤 20.2.3

将 $\sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)$ 乘以 $1$ 。

$2 (- \frac{1}{\sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)})$

解题步骤 20.2.4

化简每一项。

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解题步骤 20.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$2 (- \frac{1}{\sec^{2} (- 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)})$

解题步骤 20.2.4.2

乘以 $- 1 \cdot 2 \cdot - 3$ 。

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解题步骤 20.2.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 (- \frac{1}{\sec^{2} (- 6 - 2 \cdot - 3)})$

解题步骤 20.2.4.2.2

将 $- 2$ 乘以 $- 3$ 。

$2 (- \frac{1}{\sec^{2} (- 6 + 6)})$

解题步骤 20.2.5

将 $- 6$ 和 $6$ 相加。

$2 (- \frac{1}{\sec^{2} (0)})$

解题步骤 20.2.6

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 (- \frac{1}{1^{2}})$

解题步骤 20.2.7

一的任意次幂都为一。

$2 (- \frac{1}{1})$

解题步骤 20.3

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 20.3.1

约去公因数。

$2 (- \frac{1}{1})$

解题步骤 20.3.2

重写表达式。

$2 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 20.4

乘以 $2 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 20.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 \cdot - 1$

解题步骤 20.4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2$

微积分学 示例

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