微积分学示例

$\int_{0}^{1} x \cdot 5^{x} d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = 5^{x}$ 。

$x (\frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{\ln (5)}$ 和 $5^{x}$ 。

$x \frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x} d x$

解题步骤 2.2

组合 $x$ 和 $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ 。

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{\ln (5)}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{\ln (5)}$ 移到积分外。

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - (\frac{1}{\ln (5)} \int_{0}^{1} 5^{x} d x)$

解题步骤 4

$5^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ 。

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \frac{1}{\ln (5)} \frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}$ 和 $\frac{1}{\ln (5)}$ 。

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \frac{\frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}}{\ln (5)}$

解题步骤 5.2

代入并化简。

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解题步骤 5.2.1

计算 $\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{1 \cdot 5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{\frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}}{\ln (5)}$

解题步骤 5.2.2

计算 $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{1 \cdot 5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

解题步骤 5.2.3

化简。

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解题步骤 5.2.3.1

计算指数。

$\frac{1 \cdot 5}{\ln (5)} - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

解题步骤 5.2.3.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{0 \cdot 1}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

解题步骤 5.2.3.4

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{0}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

解题步骤 5.2.3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{5 + 0}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

解题步骤 5.2.3.6

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

解题步骤 5.2.3.7

计算指数。

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{5}{\ln (5)} - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

解题步骤 5.2.3.8

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{5}{\ln (5)} - \frac{1}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

解题步骤 5.2.3.9

在公分母上合并分子。

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{5 - 1}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

解题步骤 5.2.3.10

从 $5$ 中减去 $1$ 。

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{4}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

解题步骤 5.2.3.11

将 $\frac{\frac{4}{\ln (5)}}{\ln (5)}$ 重写为乘积形式。

$\frac{5}{\ln (5)} - (\frac{4}{\ln (5)} \cdot \frac{1}{\ln (5)})$

解题步骤 5.2.3.12

将 $\frac{4}{\ln (5)}$ 乘以 $\frac{1}{\ln (5)}$ 。

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln (5) \ln (5)}$

解题步骤 5.2.3.13

对 $\ln (5)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{1} (5) \ln (5)}$

解题步骤 5.2.3.14

对 $\ln (5)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{1} (5) \ln^{1} (5)}$

解题步骤 5.2.3.15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{{\ln (5)}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.2.3.16

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{2} (5)}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{2} (5)}$

小数形式：

$1.56244626 \dots$

解题步骤 7

微积分学 示例

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