微积分学示例

$y = x^{3} - 3 x^{2} - 2$ , $(1, - 4)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = - 4$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 3 x^{2} - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} - 6 x + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $3 x^{2} - 6 x$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2} - 6 x$

解题步骤 1.4

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$3 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1.1

一的任意次幂都为一。

$3 \cdot 1 - 6 \cdot 1$

解题步骤 1.5.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 - 6 \cdot 1$

解题步骤 1.5.1.3

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$3 - 6$

解题步骤 1.5.2

从 $3$ 中减去 $6$ 。

$- 3$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $- 3$ 和给定点 $(1, - 4)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (- 4) = - 3 \cdot (x - (1))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 4 = - 3 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $- 3 \cdot (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y + 4 = 0 + 0 - 3 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y + 4 = - 3 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y + 4 = - 3 x - 3 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.4

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$y + 4 = - 3 x + 3$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$y = - 3 x + 3 - 4$

解题步骤 2.3.2.2

从 $3$ 中减去 $4$ 。

$y = - 3 x - 1$

解题步骤 3

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