微积分学示例

$\int 3 x {(x + 6)}^{2} d x$

解题步骤 1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int x {(x + 6)}^{2} d x$

解题步骤 2

使 $u = x + 6$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = x + 6$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $x + 6$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 6]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $x + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 2.1.4

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$3 \int (u - 6) u^{2} d u$

解题步骤 3

展开 $(u - 6) u^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$3 \int u \cdot u^{2} - 6 u^{2} d u$

解题步骤 3.2

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 \int u^{1} u^{2} - 6 u^{2} d u$

解题步骤 3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 \int u^{1 + 2} - 6 u^{2} d u$

解题步骤 3.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$3 \int u^{3} - 6 u^{2} d u$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$3 (\int u^{3} d u + \int - 6 u^{2} d u)$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 6 u^{2} d u)$

解题步骤 6

由于 $- 6$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 6$ 移到积分外。

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C - 6 \int u^{2} d u)$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C - 6 (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

解题步骤 8

化简。

$3 (\frac{u^{4}}{4} - 2 u^{3}) + C$

解题步骤 9

使用 $x + 6$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (\frac{{(x + 6)}^{4}}{4} - 2 {(x + 6)}^{3}) + C$

解题步骤 10

重新排序项。

$3 (\frac{1}{4} {(x + 6)}^{4} - 2 {(x + 6)}^{3}) + C$

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