微积分学示例

$lim_{h \to 0} \frac{\arctan (x + h) - \arctan (x)}{h}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{h \to 0} \arctan (x + h) - \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{h \to 0} \arctan (x + h) - lim_{h \to 0} \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x - lim_{h \to 0} \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.3

由于 $lim_{h \to 0} x + h = x$ ，因此将 $x + h$ 代入 $t$ ，并使 $t$ 趋于 $x$ 。

$\frac{lim_{t \to x} \arctan (t) - lim_{h \to 0} \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.4

计算 $\arctan (x)$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{lim_{t \to x} \arctan (t) - \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.5

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\arctan (x) - \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.6

从 $\arctan (x)$ 中减去 $\arctan (x)$ 。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.3

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{h \to 0} \frac{\arctan (x + h) - \arctan (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\arctan (x + h) - \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\arctan (x + h) - \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $\arctan (x + h) - \arctan (x)$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [\arctan (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\arctan (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d h} [\arctan (x + h)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ 等于 $f' (g (h)) g' (h)$ ，其中 $f (h) = \arctan (h)$ 且 $g (h) = x + h$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + h$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.1.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.1.3

使用 $x + h$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.2

根据加法法则， $x + h$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.3

因为 $x$ 对于 $h$ 是常数，所以 $x$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.6

将 $\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $- \arctan (x)$ 对于 $h$ 是常数，所以 $- \arctan (x)$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.5.1

将 $\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.5.2

重新排序项。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1}}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1}}{1}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1} \cdot 1$

解题步骤 1.5

将 $\frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1}$

解题步骤 2

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} + 1}$

解题步骤 2.2

计算 $1$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} + 1}$

解题步骤 2.3

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1}$

解题步骤 2.4

使用极限幂法则把 ${(x + h)}^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1}$

解题步骤 2.5

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1}$

解题步骤 2.6

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1}$

解题步骤 2.7

计算 $1$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} + 1}$

解题步骤 3

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{1}{{(x + 0)}^{2} + 1}$

解题步骤 4

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

微积分学 示例

微积分学示例