微积分学示例

${(3 x^{2} + y)}^{4} = y$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} ({(3 x^{2} + y)}^{4}) = \frac{d}{d x} (y)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = 3 x^{2} + y$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x^{2} + y$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + y]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + y]$

解题步骤 2.1.3

使用 $3 x^{2} + y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 {(3 x^{2} + y)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + y]$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $3 x^{2} + y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ 。

$4 {(3 x^{2} + y)}^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 {(3 x^{2} + y)}^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 {(3 x^{2} + y)}^{3} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.2.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$4 {(3 x^{2} + y)}^{3} (6 x + \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$4 {(3 x^{2} + y)}^{3} (6 x + y')$

解题步骤 3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$4 {(3 x^{2} + y)}^{3} (6 x + y') = y'$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

化简 $4 {(3 x^{2} + y)}^{3} (6 x + y')$ 。

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解题步骤 5.1.1

重写。

$0 + 0 + 4 {(3 x^{2} + y)}^{3} (6 x + y') = y'$

解题步骤 5.1.2

通过加上各个零进行化简。

$4 {(3 x^{2} + y)}^{3} (6 x + y') = y'$

解题步骤 5.1.3

运用分配律。

$4 {(3 x^{2} + y)}^{3} (6 x) + 4 {(3 x^{2} + y)}^{3} y' = y'$

解题步骤 5.1.4

化简表达式。

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解题步骤 5.1.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$4 \cdot 6 {(3 x^{2} + y)}^{3} x + 4 {(3 x^{2} + y)}^{3} y' = y'$

解题步骤 5.1.4.2

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$24 {(3 x^{2} + y)}^{3} x + 4 {(3 x^{2} + y)}^{3} y' = y'$

解题步骤 5.1.4.3

将 $24 {(3 x^{2} + y)}^{3} x + 4 {(3 x^{2} + y)}^{3} y'$ 中的因式重新排序。

$24 x {(3 x^{2} + y)}^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} = y'$

解题步骤 5.2

将所有包含 $y'$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $y'$ 。

$24 x {(3 x^{2} + y)}^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1

使用二项式定理。

$24 x ({(3 x^{2})}^{3} + 3 {(3 x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.2.1

对 $3 x^{2}$ 运用乘积法则。

$24 x (3^{3} {(x^{2})}^{3} + 3 {(3 x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.2.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$24 x (27 {(x^{2})}^{3} + 3 {(3 x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.2.3

将 ${(x^{2})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.2.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$24 x (27 x^{2 \cdot 3} + 3 {(3 x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.2.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$24 x (27 x^{6} + 3 {(3 x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.2.4

对 $3 x^{2}$ 运用乘积法则。

$24 x (27 x^{6} + 3 (3^{2} {(x^{2})}^{2}) y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.2.5

通过指数相加将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.2.2.5.1

移动 $3^{2}$ 。

$24 x (27 x^{6} + 3^{2} \cdot 3 {(x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.2.5.2

将 $3^{2}$ 乘以 $3$ 。

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解题步骤 5.2.2.2.5.2.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

$24 x (27 x^{6} + 3^{2} \cdot 3^{1} {(x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.2.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$24 x (27 x^{6} + 3^{2 + 1} {(x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.2.5.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$24 x (27 x^{6} + 3^{3} {(x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.2.6

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$24 x (27 x^{6} + 27 {(x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.2.7

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.2.2.7.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$24 x (27 x^{6} + 27 x^{2 \cdot 2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.2.7.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$24 x (27 x^{6} + 27 x^{4} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.2.8

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$24 x (27 x^{6} + 27 x^{4} y + 9 x^{2} y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.3

运用分配律。

$24 x (27 x^{6}) + 24 x (27 x^{4} y) + 24 x (9 x^{2} y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.4

化简。

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解题步骤 5.2.2.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$24 \cdot 27 x \cdot x^{6} + 24 x (27 x^{4} y) + 24 x (9 x^{2} y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.4.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 5.2.2.4.2.1

移动 $x^{4}$ 。

$24 \cdot 27 x \cdot x^{6} + 24 (x^{4} x) (27 y) + 24 x (9 x^{2} y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.4.2.2

将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.2.4.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$24 \cdot 27 x \cdot x^{6} + 24 (x^{4} x^{1}) (27 y) + 24 x (9 x^{2} y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.4.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$24 \cdot 27 x \cdot x^{6} + 24 x^{4 + 1} (27 y) + 24 x (9 x^{2} y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.4.2.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$24 \cdot 27 x \cdot x^{6} + 24 x^{5} (27 y) + 24 x (9 x^{2} y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.4.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.2.4.3.1

移动 $x^{2}$ 。

$24 \cdot 27 x \cdot x^{6} + 24 x^{5} (27 y) + 24 (x^{2} x) (9 y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.4.3.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.2.4.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$24 \cdot 27 x \cdot x^{6} + 24 x^{5} (27 y) + 24 (x^{2} x^{1}) (9 y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.4.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$24 \cdot 27 x \cdot x^{6} + 24 x^{5} (27 y) + 24 x^{2 + 1} (9 y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.4.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$24 \cdot 27 x \cdot x^{6} + 24 x^{5} (27 y) + 24 x^{3} (9 y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.5

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.5.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{6}$ 。

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解题步骤 5.2.2.5.1.1

移动 $x^{6}$ 。

$24 \cdot 27 (x^{6} x) + 24 x^{5} (27 y) + 24 x^{3} (9 y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.5.1.2

将 $x^{6}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.2.5.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$24 \cdot 27 (x^{6} x^{1}) + 24 x^{5} (27 y) + 24 x^{3} (9 y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.5.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$24 \cdot 27 x^{6 + 1} + 24 x^{5} (27 y) + 24 x^{3} (9 y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.5.1.3

将 $6$ 和 $1$ 相加。

$24 \cdot 27 x^{7} + 24 x^{5} (27 y) + 24 x^{3} (9 y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.5.2

将 $24$ 乘以 $27$ 。

$648 x^{7} + 24 x^{5} (27 y) + 24 x^{3} (9 y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.5.3

使用乘法的交换性质重写。

$648 x^{7} + 24 \cdot 27 x^{5} y + 24 x^{3} (9 y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.5.4

将 $24$ 乘以 $27$ 。

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 24 x^{3} (9 y^{2}) + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.5.5

使用乘法的交换性质重写。

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 24 \cdot 9 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.5.6

将 $24$ 乘以 $9$ 。

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' {(3 x^{2} + y)}^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.6

使用二项式定理。

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' ({(3 x^{2})}^{3} + 3 {(3 x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.7

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.7.1

对 $3 x^{2}$ 运用乘积法则。

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' (3^{3} {(x^{2})}^{3} + 3 {(3 x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.7.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' (27 {(x^{2})}^{3} + 3 {(3 x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.7.3

将 ${(x^{2})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.2.7.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' (27 x^{2 \cdot 3} + 3 {(3 x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.7.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' (27 x^{6} + 3 {(3 x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.7.4

对 $3 x^{2}$ 运用乘积法则。

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' (27 x^{6} + 3 (3^{2} {(x^{2})}^{2}) y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.7.5

通过指数相加将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.2.7.5.1

移动 $3^{2}$ 。

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' (27 x^{6} + 3^{2} \cdot 3 {(x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.7.5.2

将 $3^{2}$ 乘以 $3$ 。

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解题步骤 5.2.2.7.5.2.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' (27 x^{6} + 3^{2} \cdot 3^{1} {(x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.7.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' (27 x^{6} + 3^{2 + 1} {(x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.7.5.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' (27 x^{6} + 3^{3} {(x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.7.6

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' (27 x^{6} + 27 {(x^{2})}^{2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.7.7

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.2.7.7.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' (27 x^{6} + 27 x^{2 \cdot 2} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.7.7.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' (27 x^{6} + 27 x^{4} y + 3 (3 x^{2}) y^{2} + y^{3}) - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.7.8

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' (27 x^{6} + 27 x^{4} y + 9 x^{2} y^{2} + y^{3}) - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.8

运用分配律。

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 y' (27 x^{6}) + 4 y' (27 x^{4} y) + 4 y' (9 x^{2} y^{2}) + 4 y' y^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.9

化简。

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解题步骤 5.2.2.9.1

使用乘法的交换性质重写。

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 \cdot 27 y' x^{6} + 4 y' (27 x^{4} y) + 4 y' (9 x^{2} y^{2}) + 4 y' y^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.9.2

将 $27$ 乘以 $4$ 。

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 \cdot 27 y' x^{6} + 108 y' (x^{4} y) + 4 y' (9 x^{2} y^{2}) + 4 y' y^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.9.3

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 4 \cdot 27 y' x^{6} + 108 y' (x^{4} y) + 36 y' (x^{2} y^{2}) + 4 y' y^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.2.2.10

将 $4$ 乘以 $27$ 。

$648 x^{7} + 648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 108 y' x^{6} + 108 y' x^{4} y + 36 y' x^{2} y^{2} + 4 y' y^{3} - y' = 0$

解题步骤 5.3

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.3.1

从等式两边同时减去 $648 x^{7}$ 。

$648 x^{5} y + 216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 108 y' x^{6} + 108 y' x^{4} y + 36 y' x^{2} y^{2} + 4 y' y^{3} - y' = - 648 x^{7}$

解题步骤 5.3.2

从等式两边同时减去 $648 x^{5} y$ 。

$216 x^{3} y^{2} + 24 x y^{3} + 108 y' x^{6} + 108 y' x^{4} y + 36 y' x^{2} y^{2} + 4 y' y^{3} - y' = - 648 x^{7} - 648 x^{5} y$

解题步骤 5.3.3

从等式两边同时减去 $216 x^{3} y^{2}$ 。

$24 x y^{3} + 108 y' x^{6} + 108 y' x^{4} y + 36 y' x^{2} y^{2} + 4 y' y^{3} - y' = - 648 x^{7} - 648 x^{5} y - 216 x^{3} y^{2}$

解题步骤 5.3.4

从等式两边同时减去 $24 x y^{3}$ 。

$108 y' x^{6} + 108 y' x^{4} y + 36 y' x^{2} y^{2} + 4 y' y^{3} - y' = - 648 x^{7} - 648 x^{5} y - 216 x^{3} y^{2} - 24 x y^{3}$

解题步骤 5.4

从 $108 y' x^{6} + 108 y' x^{4} y + 36 y' x^{2} y^{2} + 4 y' y^{3} - y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.4.1

从 $108 y' x^{6}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (108 x^{6}) + 108 y' x^{4} y + 36 y' x^{2} y^{2} + 4 y' y^{3} - y' = - 648 x^{7} - 648 x^{5} y - 216 x^{3} y^{2} - 24 x y^{3}$

解题步骤 5.4.2

从 $108 y' x^{4} y$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (108 x^{6}) + y' (108 x^{4} y) + 36 y' x^{2} y^{2} + 4 y' y^{3} - y' = - 648 x^{7} - 648 x^{5} y - 216 x^{3} y^{2} - 24 x y^{3}$

解题步骤 5.4.3

从 $36 y' x^{2} y^{2}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (108 x^{6}) + y' (108 x^{4} y) + y' (36 x^{2} y^{2}) + 4 y' y^{3} - y' = - 648 x^{7} - 648 x^{5} y - 216 x^{3} y^{2} - 24 x y^{3}$

解题步骤 5.4.4

从 $4 y' y^{3}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (108 x^{6}) + y' (108 x^{4} y) + y' (36 x^{2} y^{2}) + y' (4 y^{3}) - y' = - 648 x^{7} - 648 x^{5} y - 216 x^{3} y^{2} - 24 x y^{3}$

解题步骤 5.4.5

从 $- y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (108 x^{6}) + y' (108 x^{4} y) + y' (36 x^{2} y^{2}) + y' (4 y^{3}) + y' \cdot - 1 = - 648 x^{7} - 648 x^{5} y - 216 x^{3} y^{2} - 24 x y^{3}$

解题步骤 5.4.6

从 $y' (108 x^{6}) + y' (108 x^{4} y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (108 x^{6} + 108 x^{4} y) + y' (36 x^{2} y^{2}) + y' (4 y^{3}) + y' \cdot - 1 = - 648 x^{7} - 648 x^{5} y - 216 x^{3} y^{2} - 24 x y^{3}$

解题步骤 5.4.7

从 $y' (108 x^{6} + 108 x^{4} y) + y' (36 x^{2} y^{2})$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2}) + y' (4 y^{3}) + y' \cdot - 1 = - 648 x^{7} - 648 x^{5} y - 216 x^{3} y^{2} - 24 x y^{3}$

解题步骤 5.4.8

从 $y' (108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2}) + y' (4 y^{3})$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3}) + y' \cdot - 1 = - 648 x^{7} - 648 x^{5} y - 216 x^{3} y^{2} - 24 x y^{3}$

解题步骤 5.4.9

从 $y' (108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3}) + y' \cdot - 1$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1) = - 648 x^{7} - 648 x^{5} y - 216 x^{3} y^{2} - 24 x y^{3}$

解题步骤 5.5

将 $y' (108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1) = - 648 x^{7} - 648 x^{5} y - 216 x^{3} y^{2} - 24 x y^{3}$ 中的每一项除以 $108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1$ 并化简。

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解题步骤 5.5.1

将 $y' (108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1) = - 648 x^{7} - 648 x^{5} y - 216 x^{3} y^{2} - 24 x y^{3}$ 中的每一项都除以 $108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1$ 。

$\frac{y' (108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1)}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} = \frac{- 648 x^{7}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} + \frac{- 648 x^{5} y}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} + \frac{- 216 x^{3} y^{2}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} + \frac{- 24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.1

约去 $108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.1.1

约去公因数。

解题步骤 5.5.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 648 x^{7}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} + \frac{- 648 x^{5} y}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} + \frac{- 216 x^{3} y^{2}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} + \frac{- 24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.3.1

化简项。

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解题步骤 5.5.3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.3.1.1.1

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{(648) x^{7}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} + \frac{- 648 x^{5} y}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} + \frac{- 216 x^{3} y^{2}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} + \frac{- 24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.1.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{648 x^{7}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{(648) x^{5} y}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} + \frac{- 216 x^{3} y^{2}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} + \frac{- 24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.1.1.3

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{648 x^{7}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{648 x^{5} y}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{(216) x^{3} y^{2}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} + \frac{- 24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.1.1.4

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{648 x^{7}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{648 x^{5} y}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{216 x^{3} y^{2}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.1.2

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 648 x^{7} - 648 x^{5} y}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{216 x^{3} y^{2}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.2

化简分子。

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解题步骤 5.5.3.2.1

从 $- 648 x^{7} - 648 x^{5} y$ 中分解出因数 $648 x^{5}$ 。

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解题步骤 5.5.3.2.1.1

从 $- 648 x^{7}$ 中分解出因数 $648 x^{5}$ 。

$y' = \frac{648 x^{5} (- x^{2}) - 648 x^{5} y}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{216 x^{3} y^{2}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.2.1.2

从 $- 648 x^{5} y$ 中分解出因数 $648 x^{5}$ 。

$y' = \frac{648 x^{5} (- x^{2}) + 648 x^{5} (- 1 y)}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{216 x^{3} y^{2}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.2.1.3

从 $648 x^{5} (- x^{2}) + 648 x^{5} (- 1 y)$ 中分解出因数 $648 x^{5}$ 。

$y' = \frac{648 x^{5} (- x^{2} - 1 y)}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{216 x^{3} y^{2}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.2.2

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$y' = \frac{648 x^{5} (- x^{2} - y)}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{216 x^{3} y^{2}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.3

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{648 x^{5} (- x^{2} - y) - 216 x^{3} y^{2}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.4

化简分子。

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解题步骤 5.5.3.4.1

从 $648 x^{5} (- x^{2} - y) - 216 x^{3} y^{2}$ 中分解出因数 $216 x^{3}$ 。

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解题步骤 5.5.3.4.1.1

从 $648 x^{5} (- x^{2} - y)$ 中分解出因数 $216 x^{3}$ 。

$y' = \frac{216 x^{3} (3 x^{2} (- x^{2} - y)) - 216 x^{3} y^{2}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.4.1.2

从 $- 216 x^{3} y^{2}$ 中分解出因数 $216 x^{3}$ 。

$y' = \frac{216 x^{3} (3 x^{2} (- x^{2} - y)) + 216 x^{3} (- 1 y^{2})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.4.1.3

从 $216 x^{3} (3 x^{2} (- x^{2} - y)) + 216 x^{3} (- 1 y^{2})$ 中分解出因数 $216 x^{3}$ 。

$y' = \frac{216 x^{3} (3 x^{2} (- x^{2} - y) - 1 y^{2})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.4.2

运用分配律。

$y' = \frac{216 x^{3} (3 x^{2} (- x^{2}) + 3 x^{2} (- y) - 1 y^{2})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.4.3

使用乘法的交换性质重写。

$y' = \frac{216 x^{3} (3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} (- y) - 1 y^{2})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.4.4

使用乘法的交换性质重写。

$y' = \frac{216 x^{3} (3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2} y - 1 y^{2})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.4.5

化简每一项。

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解题步骤 5.5.3.4.5.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.5.3.4.5.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$y' = \frac{216 x^{3} (3 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot - 1 x^{2} y - 1 y^{2})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.4.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = \frac{216 x^{3} (3 \cdot - 1 x^{2 + 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} y - 1 y^{2})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.4.5.1.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$y' = \frac{216 x^{3} (3 \cdot - 1 x^{4} + 3 \cdot - 1 x^{2} y - 1 y^{2})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.4.5.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$y' = \frac{216 x^{3} (- 3 x^{4} + 3 \cdot - 1 x^{2} y - 1 y^{2})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.4.5.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$y' = \frac{216 x^{3} (- 3 x^{4} - 3 x^{2} y - 1 y^{2})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.4.6

将 $- 1 y^{2}$ 重写为 $- y^{2}$ 。

$y' = \frac{216 x^{3} (- 3 x^{4} - 3 x^{2} y - y^{2})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1} - \frac{24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.5

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{216 x^{3} (- 3 x^{4} - 3 x^{2} y - y^{2}) - 24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.6

化简分子。

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解题步骤 5.5.3.6.1

从 $216 x^{3} (- 3 x^{4} - 3 x^{2} y - y^{2}) - 24 x y^{3}$ 中分解出因数 $24 x$ 。

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解题步骤 5.5.3.6.1.1

从 $216 x^{3} (- 3 x^{4} - 3 x^{2} y - y^{2})$ 中分解出因数 $24 x$ 。

$y' = \frac{24 x (9 x^{2} (- 3 x^{4} - 3 x^{2} y - y^{2})) - 24 x y^{3}}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.6.1.2

从 $- 24 x y^{3}$ 中分解出因数 $24 x$ 。

$y' = \frac{24 x (9 x^{2} (- 3 x^{4} - 3 x^{2} y - y^{2})) + 24 x (- 1 y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.6.1.3

从 $24 x (9 x^{2} (- 3 x^{4} - 3 x^{2} y - y^{2})) + 24 x (- 1 y^{3})$ 中分解出因数 $24 x$ 。

$y' = \frac{24 x (9 x^{2} (- 3 x^{4} - 3 x^{2} y - y^{2}) - 1 y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.6.2

运用分配律。

$y' = \frac{24 x (9 x^{2} (- 3 x^{4}) + 9 x^{2} (- 3 x^{2} y) + 9 x^{2} (- y^{2}) - 1 y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.6.3

化简。

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解题步骤 5.5.3.6.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$y' = \frac{24 x (9 \cdot - 3 x^{2} x^{4} + 9 x^{2} (- 3 x^{2} y) + 9 x^{2} (- y^{2}) - 1 y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.6.3.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.5.3.6.3.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$y' = \frac{24 x (9 \cdot - 3 x^{2} x^{4} + 9 (x^{2} x^{2}) (- 3 y) + 9 x^{2} (- y^{2}) - 1 y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.6.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = \frac{24 x (9 \cdot - 3 x^{2} x^{4} + 9 x^{2 + 2} (- 3 y) + 9 x^{2} (- y^{2}) - 1 y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.6.3.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$y' = \frac{24 x (9 \cdot - 3 x^{2} x^{4} + 9 x^{4} (- 3 y) + 9 x^{2} (- y^{2}) - 1 y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.6.3.3

使用乘法的交换性质重写。

$y' = \frac{24 x (9 \cdot - 3 x^{2} x^{4} + 9 x^{4} (- 3 y) + 9 \cdot - 1 x^{2} y^{2} - 1 y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.6.4

化简每一项。

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解题步骤 5.5.3.6.4.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 5.5.3.6.4.1.1

移动 $x^{4}$ 。

$y' = \frac{24 x (9 \cdot - 3 (x^{4} x^{2}) + 9 x^{4} (- 3 y) + 9 \cdot - 1 x^{2} y^{2} - 1 y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.6.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = \frac{24 x (9 \cdot - 3 x^{4 + 2} + 9 x^{4} (- 3 y) + 9 \cdot - 1 x^{2} y^{2} - 1 y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.6.4.1.3

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$y' = \frac{24 x (9 \cdot - 3 x^{6} + 9 x^{4} (- 3 y) + 9 \cdot - 1 x^{2} y^{2} - 1 y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.6.4.2

将 $9$ 乘以 $- 3$ 。

$y' = \frac{24 x (- 27 x^{6} + 9 x^{4} (- 3 y) + 9 \cdot - 1 x^{2} y^{2} - 1 y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.6.4.3

使用乘法的交换性质重写。

$y' = \frac{24 x (- 27 x^{6} + 9 \cdot - 3 x^{4} y + 9 \cdot - 1 x^{2} y^{2} - 1 y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.6.4.4

将 $9$ 乘以 $- 3$ 。

$y' = \frac{24 x (- 27 x^{6} - 27 x^{4} y + 9 \cdot - 1 x^{2} y^{2} - 1 y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.6.4.5

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$y' = \frac{24 x (- 27 x^{6} - 27 x^{4} y - 9 x^{2} y^{2} - 1 y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.6.5

将 $- 1 y^{3}$ 重写为 $- y^{3}$ 。

$y' = \frac{24 x (- 27 x^{6} - 27 x^{4} y - 9 x^{2} y^{2} - y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.7

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 5.5.3.7.1

从 $- 27 x^{6}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{24 x (- (27 x^{6}) - 27 x^{4} y - 9 x^{2} y^{2} - y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.7.2

从 $- 27 x^{4} y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{24 x (- (27 x^{6}) - (27 x^{4} y) - 9 x^{2} y^{2} - y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.7.3

从 $- (27 x^{6}) - (27 x^{4} y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{24 x (- (27 x^{6} + 27 x^{4} y) - 9 x^{2} y^{2} - y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.7.4

从 $- 9 x^{2} y^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{24 x (- (27 x^{6} + 27 x^{4} y) - (9 x^{2} y^{2}) - y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.7.5

从 $- (27 x^{6} + 27 x^{4} y) - (9 x^{2} y^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{24 x (- (27 x^{6} + 27 x^{4} y + 9 x^{2} y^{2}) - y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.7.6

从 $- y^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{24 x (- (27 x^{6} + 27 x^{4} y + 9 x^{2} y^{2}) - (y^{3}))}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.7.7

从 $- (27 x^{6} + 27 x^{4} y + 9 x^{2} y^{2}) - (y^{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{24 x (- (27 x^{6} + 27 x^{4} y + 9 x^{2} y^{2} + y^{3}))}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.7.8

化简表达式。

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解题步骤 5.5.3.7.8.1

将 $- (27 x^{6} + 27 x^{4} y + 9 x^{2} y^{2} + y^{3})$ 重写为 $- 1 (27 x^{6} + 27 x^{4} y + 9 x^{2} y^{2} + y^{3})$ 。

$y' = \frac{24 x (- 1 (27 x^{6} + 27 x^{4} y + 9 x^{2} y^{2} + y^{3}))}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.7.8.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{(24 x) (27 x^{6} + 27 x^{4} y + 9 x^{2} y^{2} + y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 5.5.3.7.8.3

将 $- \frac{(24 x) (27 x^{6} + 27 x^{4} y + 9 x^{2} y^{2} + y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$ 中的因式重新排序。

$y' = - \frac{24 x (27 x^{6} + 27 x^{4} y + 9 x^{2} y^{2} + y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{24 x (27 x^{6} + 27 x^{4} y + 9 x^{2} y^{2} + y^{3})}{108 x^{6} + 108 x^{4} y + 36 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} - 1}$

微积分学 示例

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