微积分学示例

$y = {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{3}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = a + \frac{b}{x^{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $a + \frac{b}{x^{2}}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [a + \frac{b}{x^{2}}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [a + \frac{b}{x^{2}}]$

解题步骤 1.3

使用 $a + \frac{b}{x^{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [a + \frac{b}{x^{2}}]$

解题步骤 2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $a + \frac{b}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}]$ 。

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}])$

解题步骤 2.2

因为 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $a$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}])$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}]$ 相加。

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}]$

解题步骤 2.4

因为 $b$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{b}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

解题步骤 2.5

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}])$

解题步骤 2.5.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}])$

解题步骤 2.5.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [x^{- 2}])$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b (- 2 x^{- 3}))$

解题步骤 2.7

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$- 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b (x^{- 3}))$

解题步骤 3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{1}{x^{3}})$

解题步骤 3.2

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

组合 $b$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$- 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} \frac{b}{x^{3}}$

解题步骤 3.2.2

组合 $\frac{b}{x^{3}}$ 和 $- 6$ 。

$\frac{b \cdot - 6}{x^{3}} {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}$

解题步骤 3.2.3

组合 $\frac{b \cdot - 6}{x^{3}}$ 和 ${(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}$ 。

$\frac{b \cdot - 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 3.2.4

将 $- 6$ 移到 $b$ 的左侧。

$\frac{- 6 \cdot b {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 3.2.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{6 b {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 3.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

要将 $a$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 。

$- \frac{6 b {(\frac{a x^{2}}{x^{2}} + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.2

在公分母上合并分子。

$- \frac{6 b {(\frac{a x^{2} + b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.3

对 $\frac{a x^{2} + b}{x^{2}}$ 运用乘积法则。

$- \frac{6 b \frac{{(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.4

合并指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.4.1

组合 $6$ 和 $\frac{{(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$ 。

$- \frac{b \frac{6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.4.2

组合 $b$ 和 $\frac{6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$ 。

$- \frac{\frac{b (6 {(a x^{2} + b)}^{2})}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.5

去掉多余的括号。

$- \frac{\frac{b \cdot 6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{\frac{b \cdot 6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{2 \cdot 2}}}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\frac{b \cdot 6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{4}}}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.7

将 $6$ 移到 $b$ 的左侧。

$- \frac{\frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{4}}}{x^{3}}$

解题步骤 3.4

将分子乘以分母的倒数。

$- (\frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{4}} \cdot \frac{1}{x^{3}})$

解题步骤 3.5

合并。

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2} \cdot 1}{x^{4} x^{3}}$

解题步骤 3.6

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2} \cdot 1}{x^{4 + 3}}$

解题步骤 3.6.2

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2} \cdot 1}{x^{7}}$

解题步骤 3.7

将 $6 b {(a x^{2} + b)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{7}}$

微积分学 示例

微积分学示例