微积分学示例

$y = 2 \sqrt[5]{x^{2}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{x^{2}}$ 重写成 $x^{\frac{2}{5}}$ 。

$y = 2 x^{\frac{2}{5}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x^{\frac{2}{5}})$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{\frac{2}{5}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{5}$ 。

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1})$

解题步骤 4.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

解题步骤 4.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}})$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 5}{5}})$

解题步骤 4.6.2

从 $2$ 中减去 $5$ 。

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{- 3}{5}})$

解题步骤 4.7

将负号移到分数的前面。

$2 (\frac{2}{5} x^{- \frac{3}{5}})$

解题步骤 4.8

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $x^{- \frac{3}{5}}$ 。

$2 \frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5}$

解题步骤 4.9

组合 $2$ 和 $\frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5}$ 。

$\frac{2 (2 x^{- \frac{3}{5}})}{5}$

解题步骤 4.10

乘。

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解题步骤 4.10.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 x^{- \frac{3}{5}}}{5}$

解题步骤 4.10.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{3}{5}}$ 移动到分母。

$\frac{4}{5 x^{\frac{3}{5}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{4}{5 x^{\frac{3}{5}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{5 x^{\frac{3}{5}}}$

微积分学 示例

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