微积分学示例

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 4 x - 5}{1 - \sqrt{x}}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} + 4 x - 5}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 4 x - lim_{x \to 1} 5}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

解题步骤 1.1.2.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 4 x - lim_{x \to 1} 5}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

解题步骤 1.1.2.3

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 5}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

解题步骤 1.1.2.4

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

解题步骤 1.1.2.5

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.5.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1^{2} + 4 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

解题步骤 1.1.2.5.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1^{2} + 4 \cdot 1 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

解题步骤 1.1.2.6

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.6.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1 + 4 \cdot 1 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

解题步骤 1.1.2.6.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + 4 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

解题步骤 1.1.2.6.1.3

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1 + 4 - 5}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

解题步骤 1.1.2.6.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

解题步骤 1.1.2.6.3

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

解题步骤 1.1.3.1.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

解题步骤 1.1.3.1.3

将极限移入根号内。

$\frac{0}{1 - \sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{1 - \sqrt{1}}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 4 x - 5}{1 - \sqrt{x}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 5]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 5]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x^{2} + 4 x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

解题步骤 1.3.5

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4 + 0}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

解题步骤 1.3.6

将 $2 x + 4$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

解题步骤 1.3.7

根据加法法则， $1 - \sqrt{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

解题步骤 1.3.8

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

解题步骤 1.3.9

计算 $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ 。

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解题步骤 1.3.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 1.3.9.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 1.3.9.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

解题步骤 1.3.9.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

解题步骤 1.3.9.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

解题步骤 1.3.9.6

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

解题步骤 1.3.9.7

化简分子。

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解题步骤 1.3.9.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

解题步骤 1.3.9.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

解题步骤 1.3.9.8

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

解题步骤 1.3.9.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

解题步骤 1.3.9.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 1.3.10

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 1} (2 x + 4) (- (2 x^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 1.5

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

$lim_{x \to 1} (2 x + 4) (- (2 \sqrt{x}))$

解题步骤 1.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 1} (2 x + 4) (- 2 \sqrt{x})$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $- 2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 2 lim_{x \to 1} (2 x + 4) \sqrt{x}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$- 2 lim_{x \to 1} 2 x + 4 \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- 2 (lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 4) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}$

解题步骤 2.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 2 (2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 4) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}$

解题步骤 2.5

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$- 2 (2 lim_{x \to 1} x + 4) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}$

解题步骤 2.6

将极限移入根号内。

$- 2 (2 lim_{x \to 1} x + 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x}$

解题步骤 3

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- 2 (2 \cdot 1 + 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x}$

解题步骤 3.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- 2 (2 \cdot 1 + 4) \cdot \sqrt{1}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 (2 + 4) \cdot \sqrt{1}$

解题步骤 4.2

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$- 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{1}$

解题步骤 4.3

将 $- 2$ 乘以 $6$ 。

$- 12 \cdot \sqrt{1}$

解题步骤 4.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$- 12 \cdot 1$

解题步骤 4.5

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$- 12$

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