微积分学示例

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{5}{x} - 5}{x + 1}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

要将 $- 5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{5}{x} - 5 \cdot \frac{x}{x}}{x + 1}$

解题步骤 1.2

组合 $- 5$ 和 $\frac{x}{x}$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{5}{x} + \frac{- 5 x}{x}}{x + 1}$

解题步骤 1.3

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{- 5 - 5 x}{x}}{x + 1}$

解题步骤 2

化简极限自变量。

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解题步骤 2.1

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5 - 5 x}{x} \cdot \frac{1}{x + 1}$

解题步骤 2.2

将 $\frac{- 5 - 5 x}{x}$ 乘以 $\frac{1}{x + 1}$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5 - 5 x}{x (x + 1)}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to - 1} - 5 - 5 x}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- lim_{x \to - 1} 5 - lim_{x \to - 1} 5 x}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

解题步骤 3.1.2.1.2

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{- 1 \cdot 5 - lim_{x \to - 1} 5 x}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

解题步骤 3.1.2.1.3

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 5 - 5 lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

解题步骤 3.1.2.2

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 5 - 5 \cdot - 1}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

解题步骤 3.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 3.1.2.3.1

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 5 + 5}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

解题步骤 3.1.2.3.2

将 $- 5$ 和 $5$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.3.1

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x \cdot lim_{x \to - 1} x + 1}$

解题步骤 3.1.3.2

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x \cdot (lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1)}$

解题步骤 3.1.3.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x \cdot (lim_{x \to - 1} x + 1)}$

解题步骤 3.1.3.4

将 $- 1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.3.4.1

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{- 1 \cdot (lim_{x \to - 1} x + 1)}$

解题步骤 3.1.3.4.2

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{- 1 \cdot (- 1 + 1)}$

解题步骤 3.1.3.5

化简答案。

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解题步骤 3.1.3.5.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0}{- 1 \cdot 0}$

解题步骤 3.1.3.5.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.5.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5 - 5 x}{x (x + 1)} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $- 5 - 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

解题步骤 3.3.3

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

解题步骤 3.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ 。

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解题步骤 3.3.4.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

解题步骤 3.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

解题步骤 3.3.4.3

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - 5}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

解题步骤 3.3.5

从 $0$ 中减去 $5$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

解题步骤 3.3.6

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.7

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.9

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.10

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.11

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x + (x + 1) \cdot 1}$

解题步骤 3.3.13

将 $x + 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x + x + 1}$

解题步骤 3.3.14

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{2 x + 1}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

因为项 $- 5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 5 lim_{x \to - 1} \frac{1}{2 x + 1}$

解题步骤 4.2

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$- 5 \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

解题步骤 4.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

解题步骤 4.4

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 1}$

解题步骤 4.5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 5 \frac{1}{2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

解题步骤 4.6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$- 5 \frac{1}{2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

解题步骤 5

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- 5 \frac{1}{2 \cdot - 1 + 1}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简分母。

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解题步骤 6.1.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 5 \frac{1}{- 2 + 1}$

解题步骤 6.1.2

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$- 5 (\frac{1}{- 1})$

解题步骤 6.2

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$- 5 \cdot - 1$

解题步骤 6.3

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$5$

微积分学 示例

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