微积分学示例

$y = \frac{4 \sqrt{x}}{x^{2} - 2}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 2}]$

解题步骤 1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 2}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 2}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} - 2$ 。

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 8

合并分数。

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解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 9

根据加法法则， $x^{2} - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 11

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 12

化简表达式。

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解题步骤 12.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 12.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{1}{2}} x}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 13

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{1 + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 15

化简表达式。

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解题步骤 15.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 15.2

在公分母上合并分子。

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 15.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 16

组合 $4$ 和 $\frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$ 。

$\frac{4 ((x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17

化简。

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解题步骤 17.1

运用分配律。

$\frac{4 (x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.2

运用分配律。

$\frac{4 (x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.3

化简分子。

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解题步骤 17.3.1

化简每一项。

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解题步骤 17.3.1.1

约去 $x^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 17.3.1.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.3.1.1.2

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.3.1.1.3

约去公因数。

$\frac{4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.3.1.1.4

重写表达式。

$\frac{4 (x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2}) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.3.1.2

组合 $x^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{4 \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.3.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.3.1.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2) \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.3.1.3.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2 \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.3.1.3.3

重写表达式。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.3.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.3.1.4.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 4 (2 \cdot - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.3.1.4.2

约去公因数。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 4 (2 \cdot - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.3.1.4.3

重写表达式。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 4 (- 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.3.1.5

将 $- 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 4 (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.3.1.6

乘以 $4 (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ 。

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解题步骤 17.3.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.3.1.6.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.3.1.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.3.1.8

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} - 8 x^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.3.2

从 $2 x^{\frac{3}{2}}$ 中减去 $8 x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{- 6 x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.4

化简分子。

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解题步骤 17.4.1

从 $- 6 x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $- 2$ 。

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解题步骤 17.4.1.1

从 $- 6 x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$\frac{- 2 (3 x^{\frac{3}{2}}) - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.4.1.2

从 $- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$\frac{- 2 (3 x^{\frac{3}{2}}) - 2 (- \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.4.1.3

从 $- 2 (3 x^{\frac{3}{2}}) - 2 (- \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}})$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$\frac{- 2 (3 x^{\frac{3}{2}} - \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.4.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{- 2 (3 x^{\frac{3}{2}} - - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.4.3

乘以 $- - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 17.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 (3 x^{\frac{3}{2}} + 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.4.3.2

将 $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 2 (3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.4.4

要将 $3 x^{\frac{3}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 2 (\frac{3 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.4.5

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 \frac{3 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.4.6

通过指数相加将 $x^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 17.4.6.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- 2 \frac{3 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.4.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.4.6.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 \frac{3 x^{\frac{1 + 3}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.4.6.4

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{- 2 \frac{3 x^{\frac{4}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.4.6.5

用 $4$ 除以 $2$ 。

$\frac{- 2 \frac{3 x^{2} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.5

组合 $- 2$ 和 $\frac{3 x^{2} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{- 2 (3 x^{2} + 2)}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{2 (3 x^{2} + 2)}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.7

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{2 (3 x^{2} + 2)}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 17.8

将 $\frac{1}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$ 乘以 $\frac{2 (3 x^{2} + 2)}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{2 (3 x^{2} + 2)}{{(x^{2} - 2)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 17.9

将 $- \frac{2 (3 x^{2} + 2)}{{(x^{2} - 2)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{2 (3 x^{2} + 2)}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2)}^{2}}$

微积分学 示例

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