微积分学示例

$\frac{x + 4}{(x - 1) (x + 3)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x + 4$ 且 $g (x) = (x - 1) (x + 3)$ 。

$\frac{(x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [x + 4] - (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)]}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{(x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)]}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - 1) (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)]}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

解题步骤 2.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 1) (x + 3) (1 + 0) - (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)]}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

解题步骤 2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 1) (x + 3) \cdot 1 - (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)]}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

解题步骤 2.4.2

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)]}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x - 1$ 且 $g (x) = x + 3$ 。

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) ((x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3] + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) ((x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

解题步骤 4.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) ((x - 1) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

解题步骤 4.4

化简表达式。

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解题步骤 4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) ((x - 1) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

解题步骤 4.4.2

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (x - 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

解题步骤 4.5

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (x - 1 + (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

解题步骤 4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (x - 1 + (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

解题步骤 4.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (x - 1 + (x + 3) (1 + 0))}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

解题步骤 4.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (x - 1 + (x + 3) \cdot 1)}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

解题步骤 4.8.2

将 $x + 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (x - 1 + x + 3)}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

解题步骤 4.8.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (2 x - 1 + 3)}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

解题步骤 4.8.4

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (2 x + 2)}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

对 $(x - 1) (x + 3)$ 运用乘积法则。

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{(x - 1) (x + 3) + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (x + 3)$ 。

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解题步骤 5.3.1.1.1

运用分配律。

$\frac{x (x + 3) - 1 (x + 3) + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.1.2

运用分配律。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 - 1 (x + 3) + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.1.3

运用分配律。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} + x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.1.2

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{x^{2} + 3 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 3 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{x^{2} + 3 x - x - 1 \cdot 3 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x^{2} + 3 x - x - 3 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.2

从 $3 x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 + (- x - 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.4

使用 FOIL 方法展开 $(- x - 4) (2 x + 2)$ 。

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解题步骤 5.3.1.4.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - x (2 x + 2) - 4 (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.4.2

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - x (2 x) - x \cdot 2 - 4 (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.4.3

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - x (2 x) - x \cdot 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.3.1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.5.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.5.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.1.5.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.5.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.5.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 2 x^{2} - x \cdot 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.5.1.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 2 x^{2} - 2 x - 4 (2 x) - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.5.1.5

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 2 x^{2} - 2 x - 8 x - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.5.1.6

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 2 x^{2} - 2 x - 8 x - 8}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.5.2

从 $- 2 x$ 中减去 $8 x$ 。

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 2 x^{2} - 10 x - 8}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$\frac{- x^{2} + 2 x - 3 - 10 x - 8}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.3.3

从 $2 x$ 中减去 $10 x$ 。

$\frac{- x^{2} - 8 x - 3 - 8}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.3.4

从 $- 3$ 中减去 $8$ 。

$\frac{- x^{2} - 8 x - 11}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.4

重新排序项。

$\frac{- x^{2} - 8 x - 11}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.5

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2}) - 8 x - 11}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.6

从 $- 8 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2}) - (8 x) - 11}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.7

从 $- (x^{2}) - (8 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2} + 8 x) - 11}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.8

将 $- 11$ 重写为 $- 1 (11)$ 。

$\frac{- (x^{2} + 8 x) - 1 (11)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.9

从 $- (x^{2} + 8 x) - 1 (11)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2} + 8 x + 11)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.10

将 $- (x^{2} + 8 x + 11)$ 重写为 $- 1 (x^{2} + 8 x + 11)$ 。

$\frac{- 1 (x^{2} + 8 x + 11)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.11

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{2} + 8 x + 11}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

微积分学 示例

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