微积分学示例

$1 - \arctan (e^{t})$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $1 - \arctan (e^{t})$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \arctan (e^{t})]$ 。

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \arctan (e^{t})]$

解题步骤 1.2

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d t} [- \arctan (e^{t})]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d t} [- \arctan (e^{t})]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- \arctan (e^{t})$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [\arctan (e^{t})]$ 。

$0 - \frac{d}{d t} [\arctan (e^{t})]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \arctan (t)$ 且 $g (t) = e^{t}$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $e^{t}$ 。

$0 - (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d t} [e^{t}])$

解题步骤 2.2.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$0 - (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [e^{t}])$

解题步骤 2.2.3

使用 $e^{t}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$0 - (\frac{1}{1 + {(e^{t})}^{2}} \frac{d}{d t} [e^{t}])$

解题步骤 2.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ 等于 $a^{t} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$0 - (\frac{1}{1 + {(e^{t})}^{2}} e^{t})$

解题步骤 2.4

将 ${(e^{t})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$0 - (\frac{1}{1 + e^{t \cdot 2}} e^{t})$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 移到 $t$ 的左侧。

$0 - (\frac{1}{1 + e^{2 t}} e^{t})$

解题步骤 2.5

组合 $\frac{1}{1 + e^{2 t}}$ 和 $e^{t}$ 。

$0 - \frac{e^{t}}{1 + e^{2 t}}$

解题步骤 3

从 $0$ 中减去 $\frac{e^{t}}{1 + e^{2 t}}$ 。

$- \frac{e^{t}}{1 + e^{2 t}}$

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