微积分学示例

$f (x) = \frac{5}{7} x - \frac{1}{10} x^{6} + \frac{1}{6} x^{- 1} - \frac{1}{10} x^{5}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\frac{5}{7} x - \frac{1}{10} x^{6} + \frac{1}{6} x^{- 1} - \frac{1}{10} x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{5}{7} x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{7} x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{5}{7} x]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $\frac{5}{7}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5}{7} x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{5}{7} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

解题步骤 1.2.3

将 $\frac{5}{7}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5}{7} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{6}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- \frac{1}{10}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{10} x^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 。

$\frac{5}{7} - \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$\frac{5}{7} - \frac{1}{10} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

解题步骤 1.3.3

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{5}{7} - 6 (\frac{1}{10}) x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

解题步骤 1.3.4

组合 $- 6$ 和 $\frac{1}{10}$ 。

$\frac{5}{7} + \frac{- 6}{10} x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

解题步骤 1.3.5

组合 $\frac{- 6}{10}$ 和 $x^{5}$ 。

$\frac{5}{7} + \frac{- 6 x^{5}}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

解题步骤 1.3.6

约去 $- 6$ 和 $10$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.6.1

从 $- 6 x^{5}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5}{7} + \frac{2 (- 3 x^{5})}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

解题步骤 1.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.6.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5}{7} + \frac{2 (- 3 x^{5})}{2 (5)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

解题步骤 1.3.6.2.2

约去公因数。

$\frac{5}{7} + \frac{2 (- 3 x^{5})}{2 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

解题步骤 1.3.6.2.3

重写表达式。

$\frac{5}{7} + \frac{- 3 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

解题步骤 1.3.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $\frac{1}{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{6} x^{- 1}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ 。

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} + \frac{1}{6} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

解题步骤 1.4.3

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $x^{- 2}$ 。

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{x^{- 2}}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

解题步骤 1.4.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

解题步骤 1.5

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$ 。

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解题步骤 1.5.1

因为 $- \frac{1}{10}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{10} x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} - \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} - \frac{1}{10} (5 x^{4})$

解题步骤 1.5.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} - 5 (\frac{1}{10}) x^{4}$

解题步骤 1.5.4

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{10}$ 。

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{- 5}{10} x^{4}$

解题步骤 1.5.5

组合 $\frac{- 5}{10}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{- 5 x^{4}}{10}$

解题步骤 1.5.6

约去 $- 5$ 和 $10$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.6.1

从 $- 5 x^{4}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{5 (- x^{4})}{10}$

解题步骤 1.5.6.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.6.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{5 (- x^{4})}{5 (2)}$

解题步骤 1.5.6.2.2

约去公因数。

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 2}$

解题步骤 1.5.6.2.3

重写表达式。

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{- x^{4}}{2}$

解题步骤 1.5.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} - \frac{x^{4}}{2}$

解题步骤 1.6

重新排序项。

$f' (x) = - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{2} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{5}{7}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{2} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{5}{7}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{5}}{5}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- \frac{3}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{3 x^{5}}{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$- \frac{3}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.2.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- 5 (\frac{3}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.2.4

组合 $- 5$ 和 $\frac{3}{5}$ 。

$\frac{- 5 \cdot 3}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.2.5

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 15}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.2.6

组合 $\frac{- 15}{5}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{- 15 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.2.7

约去 $- 15$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.7.1

从 $- 15 x^{4}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.7.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{- 3 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.2.7.2.4

用 $- 3 x^{4}$ 除以 $1$ 。

$- 3 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x^{4}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- 3 x^{4} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- 3 x^{4} - \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.3.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 x^{4} - 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.3.4

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- 3 x^{4} + \frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.3.5

组合 $\frac{- 4}{2}$ 和 $x^{3}$ 。

$- 3 x^{4} + \frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.3.6

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.6.1

从 $- 4 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 3 x^{4} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 3 x^{4} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.3.6.2.2

约去公因数。

$- 3 x^{4} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.3.6.2.3

重写表达式。

$- 3 x^{4} + \frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.3.6.2.4

用 $- 2 x^{3}$ 除以 $1$ 。

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- \frac{1}{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{6 x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.4.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 2.4.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.4.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.4.5

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.4.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.4.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.4.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.4.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.4.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.4.9

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.4.10

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + 2 (\frac{1}{6}) x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.4.11

组合 $2$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{2}{6} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.4.12

组合 $\frac{2}{6}$ 和 $x^{- 3}$ 。

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{2 x^{- 3}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.4.13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 3}$ 移动到分母。

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{2}{6 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.4.14

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.14.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{2 (1)}{6 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.4.14.2

约去公因数。

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解题步骤 2.4.14.2.1

从 $6 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{2 (1)}{2 (3 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.4.14.2.2

约去公因数。

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.4.14.2.3

重写表达式。

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{1}{3 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

解题步骤 2.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.5.1

因为 $\frac{5}{7}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5}{7}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{1}{3 x^{3}} + 0$

解题步骤 2.5.2

将 $- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{1}{3 x^{3}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{1}{3 x^{3}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{1}{3 x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$

解题步骤 3.2.3

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$- 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- 12 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 12 x^{3} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$

解题步骤 3.3.3

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{3 x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 。

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

解题步骤 3.4.2

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 重写为 ${(x^{3})}^{- 1}$ 。

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

解题步骤 3.4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3}$ 。

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.4.3.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

解题步骤 3.4.5

将 ${(x^{3})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

解题步骤 3.4.5.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

解题步骤 3.4.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- 3 x^{- 6} x^{2})$

解题步骤 3.4.7

通过指数相加将 $x^{- 6}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.7.1

移动 $x^{2}$ 。

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

解题步骤 3.4.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- 3 x^{2 - 6})$

解题步骤 3.4.7.3

从 $2$ 中减去 $6$ 。

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- 3 x^{- 4})$

解题步骤 3.4.8

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{- 3}{3} x^{- 4}$

解题步骤 3.4.9

组合 $\frac{- 3}{3}$ 和 $x^{- 4}$ 。

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{- 3 x^{- 4}}{3}$

解题步骤 3.4.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 4}$ 移动到分母。

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{- 3}{3 x^{4}}$

解题步骤 3.4.11

约去 $- 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.11.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{4}}$

解题步骤 3.4.11.2

约去公因数。

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解题步骤 3.4.11.2.1

从 $3 x^{4}$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{4})}$

解题步骤 3.4.11.2.2

约去公因数。

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{4}}$

解题步骤 3.4.11.2.3

重写表达式。

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{- 1}{x^{4}}$

解题步骤 3.4.12

将负号移到分数的前面。

$f''' (x) = - 12 x^{3} - 6 x^{2} - \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 4

$f (x)$ 对 $x$ 的三阶导数是 $- 12 x^{3} - 6 x^{2} - \frac{1}{x^{4}}$ 。

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} - \frac{1}{x^{4}}$

微积分学 示例

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