微积分学示例

$3 y^{3} = - 3 + 3 x^{2}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (3 y^{3}) = \frac{d}{d x} (- 3 + 3 x^{2})$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$9 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$9 y^{2} y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

求微分。

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解题步骤 3.1.1

根据加法法则， $- 3 + 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 3.1.2

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 3 (2 x)$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$0 + 6 x$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $6 x$ 相加。

$6 x$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$9 y^{2} y' = 6 x$

解题步骤 5

将 $9 y^{2} y' = 6 x$ 中的每一项除以 $9 y^{2}$ 并化简。

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解题步骤 5.1

将 $9 y^{2} y' = 6 x$ 中的每一项都除以 $9 y^{2}$ 。

$\frac{9 y^{2} y'}{9 y^{2}} = \frac{6 x}{9 y^{2}}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{9 y^{2} y'}{9 y^{2}} = \frac{6 x}{9 y^{2}}$

解题步骤 5.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{6 x}{9 y^{2}}$

解题步骤 5.2.2

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{6 x}{9 y^{2}}$

解题步骤 5.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{6 x}{9 y^{2}}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

约去 $6$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$y' = \frac{3 (2 x)}{9 y^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.1.2.1

从 $9 y^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y' = \frac{3 (2 x)}{3 (3 y^{2})}$

解题步骤 5.3.1.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{3 (2 x)}{3 (3 y^{2})}$

解题步骤 5.3.1.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

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