微积分学示例

$\int_{- 3}^{5} (5 x^{2} - e^{5 x}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{- 3}^{5} 5 x^{2} - e^{5 x} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 3}^{5} 5 x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

解题步骤 3

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int_{- 3}^{5} x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \int_{- 3}^{5} e^{5 x} d x$

解题步骤 7

使 $u = 5 x$ 。然后使 $d u = 5 d x$ ，以便 $\frac{1}{5} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u = 5 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $5 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [5 x]$

解题步骤 7.1.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \cdot 1$

解题步骤 7.1.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5$

解题步骤 7.2

将下限代入替换 $u = 5 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 5 \cdot - 3$

解题步骤 7.3

将 $5$ 乘以 $- 3$ 。

$u_{lower} = - 15$

解题步骤 7.4

将上限代入替换 $u = 5 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 5 \cdot 5$

解题步骤 7.5

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$u_{upper} = 25$

解题步骤 7.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 15$

$u_{upper} = 25$

解题步骤 7.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \int_{- 15}^{25} e^{u} \frac{1}{5} d u$

解题步骤 8

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \int_{- 15}^{25} \frac{e^{u}}{5} d u$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - (\frac{1}{5} \int_{- 15}^{25} e^{u} d u)$

解题步骤 10

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \frac{1}{5} e^{u}]_{- 15}^{25}$

解题步骤 11

代入并化简。

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解题步骤 11.1

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $5$ 处和在 $- 3$ 处的值。

$5 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - \frac{1}{5} e^{u}]_{- 15}^{25}$

解题步骤 11.2

计算 $e^{u}$ 在 $25$ 处和在 $- 15$ 处的值。

$5 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

解题步骤 11.3

化简。

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解题步骤 11.3.1

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$5 (\frac{125}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

解题步骤 11.3.2

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$5 (\frac{125}{3} - \frac{- 27}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

解题步骤 11.3.3

约去 $- 27$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.3.1

从 $- 27$ 中分解出因数 $3$ 。

$5 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

解题步骤 11.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 11.3.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$5 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

解题步骤 11.3.3.2.2

约去公因数。

$5 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

解题步骤 11.3.3.2.3

重写表达式。

$5 (\frac{125}{3} - \frac{- 9}{1}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

解题步骤 11.3.3.2.4

用 $- 9$ 除以 $1$ 。

$5 (\frac{125}{3} - - 9) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

解题步骤 11.3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$5 (\frac{125}{3} + 9) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

解题步骤 11.3.5

要将 $9$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$5 (\frac{125}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

解题步骤 11.3.6

组合 $9$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$5 (\frac{125}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

解题步骤 11.3.7

在公分母上合并分子。

$5 \frac{125 + 9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

解题步骤 11.3.8

化简分子。

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解题步骤 11.3.8.1

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$5 \frac{125 + 27}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

解题步骤 11.3.8.2

将 $125$ 和 $27$ 相加。

$5 (\frac{152}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

解题步骤 11.3.9

组合 $5$ 和 $\frac{152}{3}$ 。

$\frac{5 \cdot 152}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

解题步骤 11.3.10

将 $5$ 乘以 $152$ 。

$\frac{760}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

解题步骤 11.3.11

要将 $- \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{760}{3} - \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15}) \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 11.3.12

组合 $- \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15})$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{760}{3} + \frac{- \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15}) \cdot 3}{3}$

解题步骤 11.3.13

在公分母上合并分子。

$\frac{760 - \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15}) \cdot 3}{3}$

解题步骤 11.3.14

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{760 - 3 (\frac{1}{5}) (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

解题步骤 11.3.15

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{760 + \frac{- 3}{5} (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

解题步骤 11.3.16

将负号移到分数的前面。

$\frac{760 - \frac{3}{5} (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{760 - \frac{3}{5} \cdot (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

小数形式：

$- 14400979614.1438$

解题步骤 13

微积分学 示例

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