微积分学示例

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{1 + {(\frac{i}{n})}^{2}}$

解题步骤 1

化简总和。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

对 $\frac{i}{n}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{1 + \frac{i^{2}}{n^{2}}}$

解题步骤 1.1.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{\frac{n^{2}}{n^{2}} + \frac{i^{2}}{n^{2}}}$

解题步骤 1.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{\frac{n^{2} + i^{2}}{n^{2}}}$

解题步骤 1.2

将分子乘以分母的倒数。

$1 \frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

解题步骤 1.3

将 $\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

解题步骤 1.4

重写该总和。

$\frac{1}{n \sum_{i = 1}^{n} \frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}}$

解题步骤 2

常数求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

解题步骤 3

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(\frac{1}{n}) ((\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}) (n))$

解题步骤 4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

约去 $n$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

从 $(\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}) (n)$ 中分解出因数 $n$ 。

$\frac{1}{n} (n ((\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n))$

解题步骤 4.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{n} (n ((\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n))$

解题步骤 4.1.3

重写表达式。

$(\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n$

解题步骤 4.2

组合 $\frac{n}{n^{2} + i^{2}}$ 和 $n$ 。

$\frac{n \cdot n}{n^{2} + i^{2}}$

解题步骤 4.3

对 $n$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{n^{1} n}{n^{2} + i^{2}}$

解题步骤 4.4

对 $n$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{n^{1} n^{1}}{n^{2} + i^{2}}$

解题步骤 4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{n^{1 + 1}}{n^{2} + i^{2}}$

解题步骤 4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

解题步骤 4.7

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.7.1

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{n^{2}}{n^{2} - 1}$

解题步骤 4.7.2

以因式分解的形式重写 $n^{2} - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.7.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{n^{2}}{n^{2} - 1^{2}}$

解题步骤 4.7.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = n$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{n^{2}}{(n + 1) (n - 1)}$

微积分学 示例

微积分学示例