微积分学示例

$\ln (2 e^{t} - 1)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \ln (t)$ 且 $g (t) = 2 e^{t} - 1$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 e^{t} - 1$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]$

解题步骤 1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]$

解题步骤 1.3

使用 $2 e^{t} - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 e^{t} - 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 。

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

解题步骤 2.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 e^{t}$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [e^{t}]$ 。

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 \frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ 等于 $a^{t} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + \frac{d}{d t} [- 1])$

解题步骤 4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + 0)$

解题步骤 4.2

合并分数。

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解题步骤 4.2.1

将 $2 e^{t}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t})$

解题步骤 4.2.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2 e^{t} - 1}$ 。

$\frac{2}{2 e^{t} - 1} e^{t}$

解题步骤 4.2.3

组合 $\frac{2}{2 e^{t} - 1}$ 和 $e^{t}$ 。

$\frac{2 e^{t}}{2 e^{t} - 1}$

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