微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x^{3} + x^{2} - 1}{2 x^{3} + 7 x - 8}$

解题步骤 1

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.1.2

用 $10$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{x^{2}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.2

约去 $x^{2}$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1

乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.2.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.2.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2.1.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{2 + \frac{7 x}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2.2

约去 $x$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $7 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{2 + \frac{x \cdot 7}{x^{3}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{2 + \frac{x \cdot 7}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2.2.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{2 + \frac{x \cdot 7}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2.2.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{2 + \frac{7}{x^{2}} + \frac{- 8}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2.3

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{2 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 10 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}}$

解题步骤 2.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 10 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}}$

解题步骤 2.5

计算 $10$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{10 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}}$

解题步骤 3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{10 + 0 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}}$

解题步骤 4

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{3}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{10 + 0 - 0}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}}$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{10 + 0 - 0}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{3}}}$

解题步骤 5.2

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{10 + 0 - 0}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{3}}}$

解题步骤 5.3

因为项 $7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{10 + 0 - 0}{2 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{3}}}$

解题步骤 6

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{10 + 0 - 0}{2 + 7 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{3}}}$

解题步骤 7

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{10 + 0 - 0}{2 + 7 \cdot 0 - 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 8

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{3}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{10 + 0 - 0}{2 + 7 \cdot 0 - 8 \cdot 0}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

约去 $10 + 0 - 0$ 和 $2 + 7 \cdot 0 - 8 \cdot 0$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1

将 $10$ 重写为 $- 1 (- 10)$ 。

$\frac{- 1 (- 10) + 0 - 0}{2 + 7 \cdot 0 - 8 \cdot 0}$

解题步骤 9.1.2

将 $0$ 重写为 $- 1 (0)$ 。

$\frac{- 1 \cdot - 10 - 1 \cdot 0 - 0}{2 + 7 \cdot 0 - 8 \cdot 0}$

解题步骤 9.1.3

从 $- 1 \cdot - 10 - 1 \cdot 0$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 \cdot (- 10 + 0) - 0}{2 + 7 \cdot 0 - 8 \cdot 0}$

解题步骤 9.1.4

从 $- 0$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 \cdot (- 10 + 0) - (0)}{2 + 7 \cdot 0 - 8 \cdot 0}$

解题步骤 9.1.5

从 $- 1 \cdot (- 10 + 0) - (0)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 \cdot (- 10 + 0 + 0)}{2 + 7 \cdot 0 - 8 \cdot 0}$

解题步骤 9.1.6

重新排序项。

$\frac{- 1 \cdot (- 10 + 0 + 0)}{2 + 0 \cdot 7 - 8 \cdot 0}$

解题步骤 9.1.7

从 $- 1 \cdot (- 10 + 0 + 0)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1 \cdot (- 5 + 0 + 0))}{2 + 0 \cdot 7 - 8 \cdot 0}$

解题步骤 9.1.8

约去公因数。

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解题步骤 9.1.8.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1 \cdot (- 5 + 0 + 0))}{2 (1) + 0 \cdot 7 - 8 \cdot 0}$

解题步骤 9.1.8.2

从 $0 \cdot 7$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1 \cdot (- 5 + 0 + 0))}{2 (1) + 2 (0 \cdot 7) - 8 \cdot 0}$

解题步骤 9.1.8.3

从 $2 (1) + 2 (0 \cdot 7)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1 \cdot (- 5 + 0 + 0))}{2 (1 + 0 \cdot 7) - 8 \cdot 0}$

解题步骤 9.1.8.4

从 $- 8 \cdot 0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1 \cdot (- 5 + 0 + 0))}{2 (1 + 0 \cdot 7) + 2 (- 4 \cdot 0)}$

解题步骤 9.1.8.5

从 $2 (1 + 0 \cdot 7) + 2 (- 4 \cdot 0)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1 \cdot (- 5 + 0 + 0))}{2 (1 + 0 \cdot 7 - 4 \cdot 0)}$

解题步骤 9.1.8.6

约去公因数。

$\frac{2 (- 1 \cdot (- 5 + 0 + 0))}{2 (1 + 0 \cdot 7 - 4 \cdot 0)}$

解题步骤 9.1.8.7

重写表达式。

$\frac{- 1 \cdot (- 5 + 0 + 0)}{1 + 0 \cdot 7 - 4 \cdot 0}$

解题步骤 9.2

化简分子。

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解题步骤 9.2.1

将 $- 5 + 0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 1 (- 5 + 0)}{1 + 0 \cdot 7 - 4 \cdot 0}$

解题步骤 9.2.2

将 $- 5$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 1 \cdot - 5}{1 + 0 \cdot 7 - 4 \cdot 0}$

解题步骤 9.3

化简分母。

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解题步骤 9.3.1

将 $0$ 乘以 $7$ 。

$\frac{- 1 \cdot - 5}{1 + 0 - 4 \cdot 0}$

解题步骤 9.3.2

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 1 \cdot - 5}{1 + 0 + 0}$

解题步骤 9.3.3

将 $1 + 0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 1 \cdot - 5}{1 + 0}$

解题步骤 9.3.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 1 \cdot - 5}{1}$

解题步骤 9.4

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{5}{1}$

解题步骤 9.5

用 $5$ 除以 $1$ 。

$5$

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