微积分学示例

$\int_{- 1}^{5} [4 y - (y^{2} - 5)] d y$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{- 1}^{5} 4 y - (y^{2} - 5) d y$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 1}^{5} 4 y d y + \int_{- 1}^{5} - (y^{2} - 5) d y$

解题步骤 3

由于 $4$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int_{- 1}^{5} y d y + \int_{- 1}^{5} - (y^{2} - 5) d y$

解题步骤 4

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$4 (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} - (y^{2} - 5) d y$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} - (y^{2} - 5) d y$

解题步骤 6

乘以 $- (y^{2} - 5)$ 。

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} - y^{2} - - 5 d y$

解题步骤 7

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} - y^{2} + 5 d y$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} - y^{2} d y + \int_{- 1}^{5} 5 d y$

解题步骤 9

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) - \int_{- 1}^{5} y^{2} d y + \int_{- 1}^{5} 5 d y$

解题步骤 10

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} 5 d y$

解题步骤 11

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} 5 d y$

解题步骤 12

应用常数不变法则。

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{5}) + 5 y]_{- 1}^{5}$

解题步骤 13

代入并化简。

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解题步骤 13.1

计算 $\frac{y^{2}}{2}$ 在 $5$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$4 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{5}) + 5 y]_{- 1}^{5}$

解题步骤 13.2

计算 $\frac{y^{3}}{3}$ 在 $5$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$4 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 y]_{- 1}^{5}$

解题步骤 13.3

计算 $5 y$ 在 $5$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$4 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

解题步骤 13.4

化简。

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解题步骤 13.4.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 (\frac{25}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 (\frac{25}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.3

在公分母上合并分子。

$4 \frac{25 - 1}{2} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.4

从 $25$ 中减去 $1$ 。

$4 (\frac{24}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.5

约去 $24$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.4.5.1

从 $24$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 \frac{2 \cdot 12}{2} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.5.2

约去公因数。

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解题步骤 13.4.5.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 \frac{2 \cdot 12}{2 (1)} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.5.2.2

约去公因数。

$4 \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.5.2.3

重写表达式。

$4 (\frac{12}{1}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.5.2.4

用 $12$ 除以 $1$ 。

$4 \cdot 12 - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.6

将 $4$ 乘以 $12$ 。

$48 - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.7

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$48 - (\frac{125}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.8

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$48 - (\frac{125}{3} - \frac{- 1}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.9

将负号移到分数的前面。

$48 - (\frac{125}{3} - - \frac{1}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.10

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$48 - (\frac{125}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.11

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$48 - (\frac{125}{3} + \frac{1}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.12

在公分母上合并分子。

$48 - \frac{125 + 1}{3} + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.13

将 $125$ 和 $1$ 相加。

$48 - \frac{126}{3} + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.14

约去 $126$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.4.14.1

从 $126$ 中分解出因数 $3$ 。

$48 - \frac{3 \cdot 42}{3} + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.14.2

约去公因数。

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解题步骤 13.4.14.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$48 - \frac{3 \cdot 42}{3 (1)} + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.14.2.2

约去公因数。

$48 - \frac{3 \cdot 42}{3 \cdot 1} + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.14.2.3

重写表达式。

$48 - \frac{42}{1} + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.14.2.4

用 $42$ 除以 $1$ 。

$48 - 1 \cdot 42 + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.15

将 $- 1$ 乘以 $42$ 。

$48 - 42 + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.16

从 $48$ 中减去 $42$ 。

$6 + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.17

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$6 + 25 - 5 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.18

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$6 + 25 + 5$

解题步骤 13.4.19

将 $25$ 和 $5$ 相加。

$6 + 30$

解题步骤 13.4.20

将 $6$ 和 $30$ 相加。

$36$

解题步骤 14

微积分学 示例

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