微积分学示例

$f (x) = 3 \sin (5 x - 4)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \sin (5 x - 4)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\sin (5 x - 4)]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\sin (5 x - 4)]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 5 x - 4$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 x - 4$ 。

$3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x - 4])$

解题步骤 1.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x - 4])$

解题步骤 1.2.3

使用 $5 x - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (\cos (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x - 4])$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

根据加法法则， $5 x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$3 \cos (5 x - 4) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 1.3.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \cos (5 x - 4) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cos (5 x - 4) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 1.3.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$3 \cos (5 x - 4) (5 + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 1.3.5

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 \cos (5 x - 4) (5 + 0)$

解题步骤 1.3.6

化简表达式。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$3 \cos (5 x - 4) \cdot 5$

解题步骤 1.3.6.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$15 \cos (5 x - 4)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15 \cos (5 x - 4)$ 对 $x$ 的导数是 $15 \frac{d}{d x} [\cos (5 x - 4)]$ 。

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (\cos (5 x - 4))$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 5 x - 4$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 x - 4$ 。

$f'' (x) = 15 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (5 x - 4))$

解题步骤 2.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$f'' (x) = 15 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (5 x - 4))$

解题步骤 2.2.3

使用 $5 x - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 15 (- \sin (5 x - 4) \frac{d}{d x} (5 x - 4))$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $15$ 。

$f'' (x) = - 15 (\sin (5 x - 4) \frac{d}{d x} (5 x - 4))$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $5 x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$f'' (x) = - 15 \sin (5 x - 4) (\frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 4))$

解题步骤 2.3.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - 15 \sin (5 x - 4) (5 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 15 \sin (5 x - 4) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4))$

解题步骤 2.3.5

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 15 \sin (5 x - 4) (5 + \frac{d}{d x} (- 4))$

解题步骤 2.3.6

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 15 \sin (5 x - 4) (5 + 0)$

解题步骤 2.3.7

化简表达式。

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解题步骤 2.3.7.1

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 15 \sin (5 x - 4) \cdot 5$

解题步骤 2.3.7.2

将 $5$ 乘以 $- 15$ 。

$f'' (x) = - 75 \sin (5 x - 4)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$15 \cos (5 x - 4) = 0$

解题步骤 4

将 $15 \cos (5 x - 4) = 0$ 中的每一项除以 $15$ 并化简。

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解题步骤 4.1

将 $15 \cos (5 x - 4) = 0$ 中的每一项都除以 $15$ 。

$\frac{15 \cos (5 x - 4)}{15} = \frac{0}{15}$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

约去 $15$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{15 \cos (5 x - 4)}{15} = \frac{0}{15}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $\cos (5 x - 4)$ 除以 $1$ 。

$\cos (5 x - 4) = \frac{0}{15}$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

用 $0$ 除以 $15$ 。

$\cos (5 x - 4) = 0$

解题步骤 5

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$5 x - 4 = \arccos (0)$

解题步骤 6

化简右边。

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解题步骤 6.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$5 x - 4 = \frac{π}{2}$

解题步骤 7

在等式两边都加上 $4$ 。

$5 x = \frac{π}{2} + 4$

解题步骤 8

将 $5 x = \frac{π}{2} + 4$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $5 x = \frac{π}{2} + 4$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{2}}{5} + \frac{4}{5}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{2}}{5} + \frac{4}{5}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{5} + \frac{4}{5}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{5} + \frac{4}{5}$

解题步骤 8.3.1.2

乘以 $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{5}$ 。

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解题步骤 8.3.1.2.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$x = \frac{π}{2 \cdot 5} + \frac{4}{5}$

解题步骤 8.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$x = \frac{π}{10} + \frac{4}{5}$

解题步骤 9

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$5 x - 4 = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 10

求解 $x$ 。

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解题步骤 10.1

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 10.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$5 x - 4 = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 10.1.2

合并分数。

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解题步骤 10.1.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$5 x - 4 = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 10.1.2.2

在公分母上合并分子。

$5 x - 4 = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 10.1.3

化简分子。

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解题步骤 10.1.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$5 x - 4 = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 10.1.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$5 x - 4 = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 10.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$5 x = \frac{3 π}{2} + 4$

解题步骤 10.3

将 $5 x = \frac{3 π}{2} + 4$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 10.3.1

将 $5 x = \frac{3 π}{2} + 4$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{3 π}{2}}{5} + \frac{4}{5}$

解题步骤 10.3.2

化简左边。

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解题步骤 10.3.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{3 π}{2}}{5} + \frac{4}{5}$

解题步骤 10.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{5} + \frac{4}{5}$

解题步骤 10.3.3

化简右边。

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解题步骤 10.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 10.3.3.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{5} + \frac{4}{5}$

解题步骤 10.3.3.1.2

乘以 $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{5}$ 。

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解题步骤 10.3.3.1.2.1

将 $\frac{3 π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 5} + \frac{4}{5}$

解题步骤 10.3.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$x = \frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}$

解题步骤 11

方程 $5 x - 4 = \frac{π}{2}$ 的解。

$x = \frac{π}{10} + \frac{4}{5}, \frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}$

解题步骤 12

计算在 $x = \frac{π}{10} + \frac{4}{5}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 75 \sin (5 (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) - 4)$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

运用分配律。

$- 75 \sin (5 \frac{π}{10} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

解题步骤 13.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $5$ 。

$- 75 \sin (5 \frac{π}{5 (2)} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

解题步骤 13.1.2.2

约去公因数。

$- 75 \sin (5 \frac{π}{5 \cdot 2} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

解题步骤 13.1.2.3

重写表达式。

$- 75 \sin (\frac{π}{2} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

解题步骤 13.1.3

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.3.1

约去公因数。

$- 75 \sin (\frac{π}{2} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

解题步骤 13.1.3.2

重写表达式。

$- 75 \sin (\frac{π}{2} + 4 - 4)$

解题步骤 13.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 13.2.1

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$- 75 \sin (\frac{π}{2} + 0)$

解题步骤 13.2.2

将 $\frac{π}{2}$ 和 $0$ 相加。

$- 75 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 13.3

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- 75 \cdot 1$

解题步骤 13.4

将 $- 75$ 乘以 $1$ 。

$- 75$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{π}{10} + \frac{4}{5}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{π}{10} + \frac{4}{5}$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = \frac{π}{10} + \frac{4}{5}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $\frac{π}{10} + \frac{4}{5}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (5 (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) - 4)$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

运用分配律。

$f (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (5 (\frac{π}{10}) + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

解题步骤 15.2.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (5 (\frac{π}{5 (2)}) + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

解题步骤 15.2.1.2.2

约去公因数。

$f (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (5 (\frac{π}{5 \cdot 2}) + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

解题步骤 15.2.1.2.3

重写表达式。

$f (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (\frac{π}{2} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

解题步骤 15.2.1.3

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.3.1

约去公因数。

$f (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (\frac{π}{2} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

解题步骤 15.2.1.3.2

重写表达式。

$f (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (\frac{π}{2} + 4 - 4)$

解题步骤 15.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 15.2.2.1

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$f (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (\frac{π}{2} + 0)$

解题步骤 15.2.2.2

将 $\frac{π}{2}$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 15.2.3

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \cdot 1$

解题步骤 15.2.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) = 3$

解题步骤 15.2.5

最终答案为 $3$ 。

$y = 3$

解题步骤 16

计算在 $x = \frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 75 \sin (5 (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) - 4)$

解题步骤 17

计算二阶导数。

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解题步骤 17.1

化简每一项。

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解题步骤 17.1.1

运用分配律。

$- 75 \sin (5 \frac{3 π}{10} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

解题步骤 17.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $5$ 。

$- 75 \sin (5 \frac{3 π}{5 (2)} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

解题步骤 17.1.2.2

约去公因数。

$- 75 \sin (5 \frac{3 π}{5 \cdot 2} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

解题步骤 17.1.2.3

重写表达式。

$- 75 \sin (\frac{3 π}{2} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

解题步骤 17.1.3

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.3.1

约去公因数。

$- 75 \sin (\frac{3 π}{2} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

解题步骤 17.1.3.2

重写表达式。

$- 75 \sin (\frac{3 π}{2} + 4 - 4)$

解题步骤 17.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 17.2.1

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$- 75 \sin (\frac{3 π}{2} + 0)$

解题步骤 17.2.2

将 $\frac{3 π}{2}$ 和 $0$ 相加。

$- 75 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 17.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- 75 (- \sin (\frac{π}{2}))$

解题步骤 17.4

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- 75 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 17.5

乘以 $- 75 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 17.5.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 75 \cdot - 1$

解题步骤 17.5.2

将 $- 75$ 乘以 $- 1$ 。

$75$

解题步骤 18

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}$ 是一个极小值

解题步骤 19

求 $x = \frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}$ 时的 y 值。

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解题步骤 19.1

使用表达式中的 $\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (5 (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) - 4)$

解题步骤 19.2

化简结果。

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解题步骤 19.2.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.1

运用分配律。

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (5 (\frac{3 π}{10}) + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

解题步骤 19.2.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (5 (\frac{3 π}{5 (2)}) + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

解题步骤 19.2.1.2.2

约去公因数。

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (5 (\frac{3 π}{5 \cdot 2}) + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

解题步骤 19.2.1.2.3

重写表达式。

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (\frac{3 π}{2} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

解题步骤 19.2.1.3

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.3.1

约去公因数。

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (\frac{3 π}{2} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

解题步骤 19.2.1.3.2

重写表达式。

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (\frac{3 π}{2} + 4 - 4)$

解题步骤 19.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 19.2.2.1

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (\frac{3 π}{2} + 0)$

解题步骤 19.2.2.2

将 $\frac{3 π}{2}$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 19.2.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

解题步骤 19.2.4

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 19.2.5

乘以 $3 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 19.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \cdot - 1$

解题步骤 19.2.5.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = - 3$

解题步骤 19.2.6

最终答案为 $- 3$ 。

$y = - 3$

解题步骤 20

这些是 $f (x) = 3 \sin (5 x - 4)$ 的局部极值。

$(\frac{π}{10} + \frac{4}{5}, 3)$ 是一个局部最大值

$(\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}, - 3)$ 是一个局部最小值

解题步骤 21

微积分学 示例

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